Бор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(См. также)
м (ё)
 
(не показаны 133 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Бор''' (trie, луч, нагруженное дерево) структура данных для хранения набора строк, представляющая из себя [[Дерево, эквивалентные определения | подвешенное дерево]] с символами на [[Основные определения теории графов | рёбрах]]. Строки получаются прохождением из корня по [[Основные определения теории графов | рёбрам]], записывая соответствующие им символы, до терминальной вершины. Размер бора линейно
+
'''Бор''' (англ. ''trie'', ''луч'', ''нагруженное дерево'') {{---}} структура данных для хранения набора строк, представляющая из себя [[Дерево, эквивалентные определения | подвешенное дерево]] с символами на [[Основные определения теории графов | рёбрах]]. Строки получаются последовательной записью всех символов, хранящихся на [[Основные определения теории графов | рёбрах]] между корнем бора и терминальной вершиной. Размер бора линейно
 
зависит от суммы длин всех строк, а поиск в бору занимает время, пропорциональное длине образца.
 
зависит от суммы длин всех строк, а поиск в бору занимает время, пропорциональное длине образца.
  
 
==Пример==
 
==Пример==
Бор для набора образцов {'''he''', '''she''', '''his''', '''hers'''}:<br />
+
Бор для набора образцов <tex> \{ \textbf{he}, \textbf{she}, \textbf{his}, \textbf{hers}\} </tex>:<br />
 
[[Файл:Бор.jpg‎]]
 
[[Файл:Бор.jpg‎]]
  
 
==Построение==
 
==Построение==
Пусть <tex>P = \{P_1,...,P_k\} </tex> набор строк, называемый словарем.
+
===Обозначения===
 +
Введем следующие обозначения:
 +
*<tex>\Sigma</tex> {{---}} используемый алфавит;
 +
*<tex>P = \{P_1,\ldots,P_k\} </tex> {{---}} набор строк над <tex>\Sigma</tex>, называемый словарём;
 +
*<tex>n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|</tex> {{---}} сумма длин строк.
  
Пусть <tex>n = \sum_{i=1}^k|P_i|</tex>.
+
Бор храним как набор вершин, у каждой из которых есть метка, обозначающая, является ли вершина терминальной и указатели (рёбра) на другие вершины или на ''NULL''.
  
 +
'''struct''' vertex:
 +
    '''vertex''' next[<tex>| \Sigma |</tex>]
 +
    '''bool''' isTerminal
 +
 +
===Алгоритм===
 
Непосредственно построение:
 
Непосредственно построение:
#Начинаем с [[Дерево, эквивалентные определения | дерева]] из одной вершины (корня).
+
*Начало.
#Добавляем шаблоны <tex>P_i</tex> один за другим.
+
*'''Шаг 1.''' Создадим [[Дерево, эквивалентные определения | дерево]] из одной вершины (в нашем случае корня).
#Следуем из корня по [[Основные определения теории графов | рёбрам]], отмеченным буквами из <tex>P_i</tex>, пока возможно.
+
*'''Шаг 2.''' Добавление элементов в дерево.
#Если <tex>P_i</tex> заканчивается в <tex>v</tex>, сохраняем идентификатор <tex>P_i</tex> (например, <tex>i</tex>) в <tex>v</tex> и отмечаем вершину <tex>v</tex> как терминальную.
+
**Добавляем шаблоны <tex>P_i</tex> один за другим. Следуем из корня по [[Основные определения теории графов | рёбрам]], отмеченным буквами из <tex>P_i</tex>, пока возможно.
#Если [[Основные определения теории графов | ребра]], отмеченного очередной буквой <tex>P_i</tex> нет, то создаем новые ребра и вершины для всех оставшихся символов <tex>P_i</tex>.
+
**Если <tex>P_i</tex> заканчивается в <tex>v</tex>, сохраняем идентификатор <tex>P_i</tex> (например, <tex>i</tex>) в <tex>v</tex> и отмечаем вершину <tex>v</tex> как терминальную.
 +
**Если [[Основные определения теории графов | ребра]], отмеченного очередной буквой <tex>P_i</tex> нет, то создаем новое ребро и вершину для символа строки <tex>P_i</tex>.
 +
*Конец.
 +
Построение занимает, очевидно, <tex>O(|P_1| + \ldots + |P_k|) = O(n)</tex> времени, так как поиск буквы, по которой нужно переходить, происходит за <tex>O(1)</tex>.
 +
 
 +
Поскольку на каждую вершину приходится <tex>O(| \Sigma |)</tex> памяти, то использование памяти есть <tex>O(n| \Sigma |)</tex>.
 +
 
 +
===Суффиксный бор===
 +
{{main|Суффиксный бор}}
 +
Бор позволяет решать задачу [[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке | поиска подстроки в строке]], если построить его на множестве суффиксов исходной строки.
  
Это занимает, очевидно, <tex>O (|P_1| + ... + |P_k|) = O (n)</tex> времени.
+
===Цифровой бор===
 +
{{main|Сверхбыстрый цифровой бор}}
  
==Поиск строки в бору==
+
==Использование бора==
Поиск строки <tex>S</tex> в бору: начинаем в корне, идем по [[Основные определения теории графов | рёбрам]], отмеченным символами <tex>S</tex>, пока возможно.
+
===Поиск строки в бору===
Если с последним символом <tex>S</tex> мы приходим в вершину с сохраненным идентификатором, то <tex>S</tex> — слово из словаря.
+
{{Задача
 +
|definition =  
 +
Требуется найти слово <tex>S</tex> в словаре.
 +
}}
 +
При решении этой задачи, обход бора совершается из его корня по [[Основные определения теории графов | рёбрам]], отмеченным символами строки <tex>S</tex>, пока возможно.
 +
Если с последним символом <tex>S</tex> мы приходим в терминальную вершину, то <tex>S</tex> — слово из словаря.
 
Если в какой-то момент [[Основные определения теории графов | ребра]], отмеченного нужным символом, не находится, то строки <tex>S</tex> в словаре нет.
 
Если в какой-то момент [[Основные определения теории графов | ребра]], отмеченного нужным символом, не находится, то строки <tex>S</tex> в словаре нет.
 
Ясно, что это занимает <tex>O (|S|)</tex> времени. Таким образом, бор — это эффективный способ хранить словарь и искать в нем слова.
 
Ясно, что это занимает <tex>O (|S|)</tex> времени. Таким образом, бор — это эффективный способ хранить словарь и искать в нем слова.
  
==Сжатый бор==
+
===Использование бора в качестве ассоциативного массива===
Сжатый бор структура данных для хранения набора строк, отличающаяся от бора
+
Благодаря тому, что бор позволяет решать задачу, описанную выше, он может выступать в качестве ассоциативного массива. Обычно, когда требуется такая структура, то используют [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска]] или [[Хеш-таблица | хеш-таблицу]].
следующим улучшением: если у некоторой вершины исходящая степень равна 1, то эту
+
====Достоинства====
вершину, [[Основные определения теории графов | ребро]], входящее в нее, и [[Основные определения теории графов | ребро]], исходящее из нее, можно объединить в одно
+
Бор объединяет некоторые преимущества этих структур данных и позволяет одновременно делать следующие операции, которые каждая из структур не может делать по отдельности.
[[Основные определения теории графов | ребро]] с более чем одним символом.
 
  
==[[Суффиксный бор]]==
+
{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1
Бор позволяет решать задачу поиска подстроки в строке, если построить его на множестве суффиксов исходной строки. Такой бор называется [[Суффиксный бор  | суффиксным бором]], который позволяет найти количество различных подстрок данной строки и решить другие задачи за линейное время, если его оптимизировать. Такая оптимизация называется [[Сжатое суффиксное дерево | сжатым суффиксным деревом]].
+
|+
 +
| || '''Бор''' || '''Дерево''' || '''Хеш-таблица'''
 +
|-
 +
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
 +
| ''Добавление элемента''
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(|S|)</tex>
 +
| align="center" style="background: #ffdddd;" |<tex>O(|S|\log k)</tex>
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(|S|)</tex>
 +
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
 +
| ''Получение всех ключей в отсортированном порядке''
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(k)</tex>
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(k)</tex>
 +
| align="center" style="background: #ffdddd;" | <tex>O(k\log k)</tex>
 +
|}
  
==Использование бора в качестве ''map''==
+
====Недостатки====
Мы можем ввести для каждой вершины поле <tex>value</tex>. Например, мы имеем <tex>map<string, value.type></tex>. Будем искать ключ, спускаясь по бору. Соответственно, если на какой-то вершине нет пометки, что вершина является концом слова, то объекта в <tex>map</tex> нет. Если хотим добавить его, то ставим в вершину флаг конца слова и заносим значение.
+
Несмотря на данные достоинства у реализации ассоциативного массива в виде бора есть следующие недостатки:
Работать такой алгоритм будет за <tex>O(k)</tex>, где <tex>k</tex> - количество добавленных слов.
+
# Бор хранит строки или символы, а это значит, что у значения ключа будет ограничение на тип (строки, символы, либо числа, представленные как строки). Чтобы это исправить, научимся приводить любой тип данных к строке. Тогда сможем хранить любой вид данных в качестве ключа.
 +
#Если реализовывать ассоциативный массив на обычном боре, а ключами будут являться строки, то будет использоваться слишком много памяти (возможен, например, вариант, когда у слов нет пересечений по префиксу, тогда бор будет использовать <tex>O(n| \Sigma |)</tex> памяти).
  
 
==См. также==
 
==См. также==
Строка 47: Строка 84:
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 5-8489-0857-4
 
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 5-8489-0857-4
*[http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick Алгоритм Ахо-Корасик]
+
*[http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick Бор. Построение бора]
 +
 
  
  
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]  
+
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]  
 
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
 
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
 
[[Категория: Точный поиск]]
 
[[Категория: Точный поиск]]
 +
[[Категория: Структуры данных]]

Текущая версия на 16:24, 24 января 2017

Бор (англ. trie, луч, нагруженное дерево) — структура данных для хранения набора строк, представляющая из себя подвешенное дерево с символами на рёбрах. Строки получаются последовательной записью всех символов, хранящихся на рёбрах между корнем бора и терминальной вершиной. Размер бора линейно зависит от суммы длин всех строк, а поиск в бору занимает время, пропорциональное длине образца.

Пример[править]

Бор для набора образцов [math] \{ \textbf{he}, \textbf{she}, \textbf{his}, \textbf{hers}\} [/math]:
Бор.jpg

Построение[править]

Обозначения[править]

Введем следующие обозначения:

  • [math]\Sigma[/math] — используемый алфавит;
  • [math]P = \{P_1,\ldots,P_k\} [/math] — набор строк над [math]\Sigma[/math], называемый словарём;
  • [math]n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|[/math] — сумма длин строк.

Бор храним как набор вершин, у каждой из которых есть метка, обозначающая, является ли вершина терминальной и указатели (рёбра) на другие вершины или на NULL.

struct vertex:
    vertex next[[math]| \Sigma |[/math]] 
    bool isTerminal

Алгоритм[править]

Непосредственно построение:

  • Начало.
  • Шаг 1. Создадим дерево из одной вершины (в нашем случае корня).
  • Шаг 2. Добавление элементов в дерево.
    • Добавляем шаблоны [math]P_i[/math] один за другим. Следуем из корня по рёбрам, отмеченным буквами из [math]P_i[/math], пока возможно.
    • Если [math]P_i[/math] заканчивается в [math]v[/math], сохраняем идентификатор [math]P_i[/math] (например, [math]i[/math]) в [math]v[/math] и отмечаем вершину [math]v[/math] как терминальную.
    • Если ребра, отмеченного очередной буквой [math]P_i[/math] нет, то создаем новое ребро и вершину для символа строки [math]P_i[/math].
  • Конец.

Построение занимает, очевидно, [math]O(|P_1| + \ldots + |P_k|) = O(n)[/math] времени, так как поиск буквы, по которой нужно переходить, происходит за [math]O(1)[/math].

Поскольку на каждую вершину приходится [math]O(| \Sigma |)[/math] памяти, то использование памяти есть [math]O(n| \Sigma |)[/math].

Суффиксный бор[править]

Основная статья: Суффиксный бор

Бор позволяет решать задачу поиска подстроки в строке, если построить его на множестве суффиксов исходной строки.

Цифровой бор[править]

Использование бора[править]

Поиск строки в бору[править]

Задача:
Требуется найти слово [math]S[/math] в словаре.

При решении этой задачи, обход бора совершается из его корня по рёбрам, отмеченным символами строки [math]S[/math], пока возможно. Если с последним символом [math]S[/math] мы приходим в терминальную вершину, то [math]S[/math] — слово из словаря. Если в какой-то момент ребра, отмеченного нужным символом, не находится, то строки [math]S[/math] в словаре нет. Ясно, что это занимает [math]O (|S|)[/math] времени. Таким образом, бор — это эффективный способ хранить словарь и искать в нем слова.

Использование бора в качестве ассоциативного массива[править]

Благодаря тому, что бор позволяет решать задачу, описанную выше, он может выступать в качестве ассоциативного массива. Обычно, когда требуется такая структура, то используют двоичное дерево поиска или хеш-таблицу.

Достоинства[править]

Бор объединяет некоторые преимущества этих структур данных и позволяет одновременно делать следующие операции, которые каждая из структур не может делать по отдельности.

Бор Дерево Хеш-таблица
Добавление элемента [math]O(|S|)[/math] [math]O(|S|\log k)[/math] [math]O(|S|)[/math]
Получение всех ключей в отсортированном порядке [math]O(k)[/math] [math]O(k)[/math] [math]O(k\log k)[/math]

Недостатки[править]

Несмотря на данные достоинства у реализации ассоциативного массива в виде бора есть следующие недостатки:

  1. Бор хранит строки или символы, а это значит, что у значения ключа будет ограничение на тип (строки, символы, либо числа, представленные как строки). Чтобы это исправить, научимся приводить любой тип данных к строке. Тогда сможем хранить любой вид данных в качестве ключа.
  2. Если реализовывать ассоциативный массив на обычном боре, а ключами будут являться строки, то будет использоваться слишком много памяти (возможен, например, вариант, когда у слов нет пересечений по префиксу, тогда бор будет использовать [math]O(n| \Sigma |)[/math] памяти).

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 5-8489-0857-4
  • Бор. Построение бора