Бор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм)
м (ё)
 
(не показано 6 промежуточных версий 1 участника)
Строка 10: Строка 10:
 
Введем следующие обозначения:
 
Введем следующие обозначения:
 
*<tex>\Sigma</tex> {{---}} используемый алфавит;
 
*<tex>\Sigma</tex> {{---}} используемый алфавит;
*<tex>P = \{P_1,\ldots,P_k\} </tex> {{---}} набор строк над <tex>\Sigma</tex>, называемый словарем;
+
*<tex>P = \{P_1,\ldots,P_k\} </tex> {{---}} набор строк над <tex>\Sigma</tex>, называемый словарём;
 
*<tex>n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|</tex> {{---}} сумма длин строк.
 
*<tex>n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|</tex> {{---}} сумма длин строк.
  
Строка 30: Строка 30:
 
Построение занимает, очевидно, <tex>O(|P_1| + \ldots + |P_k|) = O(n)</tex> времени, так как поиск буквы, по которой нужно переходить, происходит за <tex>O(1)</tex>.
 
Построение занимает, очевидно, <tex>O(|P_1| + \ldots + |P_k|) = O(n)</tex> времени, так как поиск буквы, по которой нужно переходить, происходит за <tex>O(1)</tex>.
  
Поскольку на каждую вершину приходится <tex>O(1)</tex> памяти, то использование памяти есть <tex>O(n)</tex>.
+
Поскольку на каждую вершину приходится <tex>O(| \Sigma |)</tex> памяти, то использование памяти есть <tex>O(n| \Sigma |)</tex>.
  
 
===Суффиксный бор===
 
===Суффиксный бор===
Строка 54: Строка 54:
 
====Достоинства====
 
====Достоинства====
 
Бор объединяет некоторые преимущества этих структур данных и позволяет одновременно делать следующие операции, которые каждая из структур не может делать по отдельности.
 
Бор объединяет некоторые преимущества этих структур данных и позволяет одновременно делать следующие операции, которые каждая из структур не может делать по отдельности.
#Добавление элемента в ассоциативный массив за <tex>O(|S|)</tex> (дерево выполняет данную операцию за <tex>O(|S|\log k)</tex>).
+
 
#Получение всех ключей в отсортированном порядке за <tex>O(k)</tex> (хеш-таблица выполняет данную операцию за <tex>O(k\log k)</tex>).
+
{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1
 +
|+
 +
| || '''Бор''' || '''Дерево''' || '''Хеш-таблица'''
 +
|-
 +
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
 +
| ''Добавление элемента''
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(|S|)</tex>
 +
| align="center" style="background: #ffdddd;" |<tex>O(|S|\log k)</tex>  
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(|S|)</tex>
 +
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
 +
| ''Получение всех ключей в отсортированном порядке''
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(k)</tex>
 +
| align="center" style="background: #ddffdd;" | <tex>O(k)</tex>
 +
| align="center" style="background: #ffdddd;" | <tex>O(k\log k)</tex>
 +
|}
  
 
====Недостатки====
 
====Недостатки====
 
Несмотря на данные достоинства у реализации ассоциативного массива в виде бора есть следующие недостатки:
 
Несмотря на данные достоинства у реализации ассоциативного массива в виде бора есть следующие недостатки:
 
# Бор хранит строки или символы, а это значит, что у значения ключа будет ограничение на тип (строки, символы, либо числа, представленные как строки). Чтобы это исправить, научимся приводить любой тип данных к строке. Тогда сможем хранить любой вид данных в качестве ключа.
 
# Бор хранит строки или символы, а это значит, что у значения ключа будет ограничение на тип (строки, символы, либо числа, представленные как строки). Чтобы это исправить, научимся приводить любой тип данных к строке. Тогда сможем хранить любой вид данных в качестве ключа.
#Если реализовывать ассоциативный массив на обычном боре, а ключами будут являться строки, то будет использоваться слишком много памяти (возможен, например, вариант, когда у слов нет пересечений по префиксу, тогда бор будет использовать <tex>O(k|S|)</tex> памяти).
+
#Если реализовывать ассоциативный массив на обычном боре, а ключами будут являться строки, то будет использоваться слишком много памяти (возможен, например, вариант, когда у слов нет пересечений по префиксу, тогда бор будет использовать <tex>O(n| \Sigma |)</tex> памяти).
  
 
==См. также==
 
==См. также==

Текущая версия на 16:24, 24 января 2017

Бор (англ. trie, луч, нагруженное дерево) — структура данных для хранения набора строк, представляющая из себя подвешенное дерево с символами на рёбрах. Строки получаются последовательной записью всех символов, хранящихся на рёбрах между корнем бора и терминальной вершиной. Размер бора линейно зависит от суммы длин всех строк, а поиск в бору занимает время, пропорциональное длине образца.

Пример[править]

Бор для набора образцов [math] \{ \textbf{he}, \textbf{she}, \textbf{his}, \textbf{hers}\} [/math]:
Бор.jpg

Построение[править]

Обозначения[править]

Введем следующие обозначения:

  • [math]\Sigma[/math] — используемый алфавит;
  • [math]P = \{P_1,\ldots,P_k\} [/math] — набор строк над [math]\Sigma[/math], называемый словарём;
  • [math]n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|[/math] — сумма длин строк.

Бор храним как набор вершин, у каждой из которых есть метка, обозначающая, является ли вершина терминальной и указатели (рёбра) на другие вершины или на NULL.

struct vertex:
    vertex next[[math]| \Sigma |[/math]] 
    bool isTerminal

Алгоритм[править]

Непосредственно построение:

  • Начало.
  • Шаг 1. Создадим дерево из одной вершины (в нашем случае корня).
  • Шаг 2. Добавление элементов в дерево.
    • Добавляем шаблоны [math]P_i[/math] один за другим. Следуем из корня по рёбрам, отмеченным буквами из [math]P_i[/math], пока возможно.
    • Если [math]P_i[/math] заканчивается в [math]v[/math], сохраняем идентификатор [math]P_i[/math] (например, [math]i[/math]) в [math]v[/math] и отмечаем вершину [math]v[/math] как терминальную.
    • Если ребра, отмеченного очередной буквой [math]P_i[/math] нет, то создаем новое ребро и вершину для символа строки [math]P_i[/math].
  • Конец.

Построение занимает, очевидно, [math]O(|P_1| + \ldots + |P_k|) = O(n)[/math] времени, так как поиск буквы, по которой нужно переходить, происходит за [math]O(1)[/math].

Поскольку на каждую вершину приходится [math]O(| \Sigma |)[/math] памяти, то использование памяти есть [math]O(n| \Sigma |)[/math].

Суффиксный бор[править]

Основная статья: Суффиксный бор

Бор позволяет решать задачу поиска подстроки в строке, если построить его на множестве суффиксов исходной строки.

Цифровой бор[править]

Использование бора[править]

Поиск строки в бору[править]

Задача:
Требуется найти слово [math]S[/math] в словаре.

При решении этой задачи, обход бора совершается из его корня по рёбрам, отмеченным символами строки [math]S[/math], пока возможно. Если с последним символом [math]S[/math] мы приходим в терминальную вершину, то [math]S[/math] — слово из словаря. Если в какой-то момент ребра, отмеченного нужным символом, не находится, то строки [math]S[/math] в словаре нет. Ясно, что это занимает [math]O (|S|)[/math] времени. Таким образом, бор — это эффективный способ хранить словарь и искать в нем слова.

Использование бора в качестве ассоциативного массива[править]

Благодаря тому, что бор позволяет решать задачу, описанную выше, он может выступать в качестве ассоциативного массива. Обычно, когда требуется такая структура, то используют двоичное дерево поиска или хеш-таблицу.

Достоинства[править]

Бор объединяет некоторые преимущества этих структур данных и позволяет одновременно делать следующие операции, которые каждая из структур не может делать по отдельности.

Бор Дерево Хеш-таблица
Добавление элемента [math]O(|S|)[/math] [math]O(|S|\log k)[/math] [math]O(|S|)[/math]
Получение всех ключей в отсортированном порядке [math]O(k)[/math] [math]O(k)[/math] [math]O(k\log k)[/math]

Недостатки[править]

Несмотря на данные достоинства у реализации ассоциативного массива в виде бора есть следующие недостатки:

  1. Бор хранит строки или символы, а это значит, что у значения ключа будет ограничение на тип (строки, символы, либо числа, представленные как строки). Чтобы это исправить, научимся приводить любой тип данных к строке. Тогда сможем хранить любой вид данных в качестве ключа.
  2. Если реализовывать ассоциативный массив на обычном боре, а ключами будут являться строки, то будет использоваться слишком много памяти (возможен, например, вариант, когда у слов нет пересечений по префиксу, тогда бор будет использовать [math]O(n| \Sigma |)[/math] памяти).

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 5-8489-0857-4
  • Бор. Построение бора