Вероятностное пространство, элементарный исход, событие — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 48: Строка 48:
 
Вероятность элементарного исхода этого пространства <tex>p(\left \langle i,j\right \rangle)=\frac {1}{52}</tex>.
 
Вероятность элементарного исхода этого пространства <tex>p(\left \langle i,j\right \rangle)=\frac {1}{52}</tex>.
 
:
 
:
 +
 +
==См. так же==
 +
1.[http://ru.wikipedia.org/wiki/Вероятностное_пространство Вероятностное пространство]
 +
<br>
 +
2.[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Дискретное вероятностное пространство]
 +
 +
 +
==Литература==
 +
1. ''Ширяев А.Н.'' Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Версия 18:02, 24 декабря 2010

Основные определения

Определение:
Дискретным вероятностным пространством называется пара из некоторого (не более, чем счетного) множества [math]\Omega[/math] и функции [math]p\colon \Omega \to \mathbb R_+ [/math] ( [math]\Omega[/math] называется множеством элементарных исходов, [math]\omega \in \Omega[/math] - элементарным исходом), такая, что [math]\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1[/math].


[math]p[/math] называют дискретной вероятностной мерой, или дискретной плотностью вероятности.

[math]p(\omega)[/math] - вероятность элементарного исхода.


Определение:
Множество [math]A \subset \Omega[/math] называется событием.


[math]p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}[/math], то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Примеры вероятностных пространств

  • Честная монета.

Множество исходов [math]\Omega = \left\{0,1\right\}[/math], где 0 - выпадает орел, 1 - выпадает решка. [math] p(0)=p(1)=0,5.[/math].
Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.

[math]\varnothing [/math]: [math] p(\varnothing)=0[/math]. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.

[math]\left\{0\right\} [/math]: [math] p(0)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.

[math]\left\{1\right\} [/math]: [math] p(1)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.

[math]\left\{0,1\right\} [/math]: [math] p(\left\{0,1\right\})=1[/math]. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.

  • Нечестная монета.

Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако [math]p(0)=x, p(1) = 1 - x=y[/math], где [math]x,y \in \left[ 0,1 \right ][/math].

  • Игральная кость.

Множество исходов [math]\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/math]. [math] p(i)= \frac {1}{6}[/math]. Рассмотрим некоторые события этого пространства.

[math]A=\left\{1,2,3 \right\}[/math] : [math]p(A)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/math]. Вероятность выпадения одного из трех чисел - 1, 2, 3 равна одной второй.

[math]B=\left\{2,4 \right\}[/math] : [math]p(B)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/math]. Числа 2 или 4 выпадут с вероятностью одна треть.

  • Колода карт.

[math]\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\} \right\}[/math]. Здесь i - масть, j - достоинство карты.

Вероятность элементарного исхода этого пространства [math]p(\left \langle i,j\right \rangle)=\frac {1}{52}[/math].

См. так же

1.Вероятностное пространство
2.Дискретное вероятностное пространство


Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.