Верхняя оценка хроматического числа длиной нечётного цикла — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 7: Строка 7:
 
*Произвольную вершину <tex>u</tex>, покрасим в цвет <tex>dist(v,u)</tex> <tex> \mod </tex> <tex> (\Delta + 1)</tex>, где <tex>dist(v,u)</tex>{{---}} расстояние между вершинами <tex>u,v</tex> в графe <tex>T</tex>.
 
*Произвольную вершину <tex>u</tex>, покрасим в цвет <tex>dist(v,u)</tex> <tex> \mod </tex> <tex> (\Delta + 1)</tex>, где <tex>dist(v,u)</tex>{{---}} расстояние между вершинами <tex>u,v</tex> в графe <tex>T</tex>.
 
Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф <tex>G</tex> будет правильно раскрашен.
 
Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф <tex>G</tex> будет правильно раскрашен.
Пусть <tex>\exists a,b \in V: (ab) \in E \land color(a) = color(b)</tex>, где <tex>color(v)</tex> {{---}} цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа <tex>p</tex>, <tex>dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)</tex> , <tex>n \ge 0 </tex>.Тогда, <tex>dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)</tex>.Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то <tex> k \ge 1</tex>. То есть, вершины <tex>a,b</tex> лежат на простом цикле длины по крайней мере <tex>\Delta + 2</tex>.Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем <tex>\Delta</tex>.
+
Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины <tex> a,b </tex> одного цвета.Пусть <tex>color(v)</tex> {{---}} цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа <tex>p</tex>, <tex>dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)</tex> , <tex>n \ge 0 </tex>.Тогда, <tex>dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)</tex>.Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то <tex> k \ge 1</tex>. То есть, вершины <tex>a,b</tex> лежат на простом цикле длины по крайней мере <tex>\Delta + 2</tex>. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем <tex>\Delta</tex>.
 
Таким образом в графе <tex>G</tex> после выполнения алгоритма раскраски  нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из <tex>\Delta + 1</tex>, то есть <tex>G</tex> правильно раскрашен в <tex>\Delta + 1</tex> цвет, следовательно <tex>\chi(G) \le \Delta(G) + 1</tex>
 
Таким образом в графе <tex>G</tex> после выполнения алгоритма раскраски  нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из <tex>\Delta + 1</tex>, то есть <tex>G</tex> правильно раскрашен в <tex>\Delta + 1</tex> цвет, следовательно <tex>\chi(G) \le \Delta(G) + 1</tex>
 
   
 
   
  
 
}}
 
}}

Версия 21:18, 13 января 2013

Лемма (оценка хроматического числа длиной максимального нечётного цикла):
Пусть [math]G(V,E)[/math] - произвольный связный неориентированный граф и [math]\Delta(G)[/math] - длина максимального простого цикла графа [math]G[/math], [math]\Delta \ge 3[/math]. Тогда, [math]\chi(G) \le \Delta(G) + 1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Опишем на графе следующий алгоритм раскраски:

  • Из произвольной вершины [math]v[/math] запусти алгоритм поиска в глубину. Пусть [math]T[/math] — дерево обхода глубина графа [math]G[/math] с корнем в вершине [math]v[/math].
  • Произвольную вершину [math]u[/math], покрасим в цвет [math]dist(v,u)[/math] [math] \mod [/math] [math] (\Delta + 1)[/math], где [math]dist(v,u)[/math]— расстояние между вершинами [math]u,v[/math] в графe [math]T[/math].

Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф [math]G[/math] будет правильно раскрашен. Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины [math] a,b [/math] одного цвета.Пусть [math]color(v)[/math] — цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа [math]p[/math], [math]dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)[/math] , [math]n \ge 0 [/math].Тогда, [math]dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)[/math].Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то [math] k \ge 1[/math]. То есть, вершины [math]a,b[/math] лежат на простом цикле длины по крайней мере [math]\Delta + 2[/math]. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем [math]\Delta[/math].

Таким образом в графе [math]G[/math] после выполнения алгоритма раскраски нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из [math]\Delta + 1[/math], то есть [math]G[/math] правильно раскрашен в [math]\Delta + 1[/math] цвет, следовательно [math]\chi(G) \le \Delta(G) + 1[/math]
[math]\triangleleft[/math]