Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
В этой статье затрагиваются [[Метрические, нормированные и евклидовы пространства#Вещественное псевдоевклидово пространство | вещественные псевдоевклидовы пространства]] и [[Метрические, нормированные и евклидовы пространства#Вещественное евклидово пространство | вещественные евклидовы пространства]].
 
В этой статье затрагиваются [[Метрические, нормированные и евклидовы пространства#Вещественное псевдоевклидово пространство | вещественные псевдоевклидовы пространства]] и [[Метрические, нормированные и евклидовы пространства#Вещественное евклидово пространство | вещественные евклидовы пространства]].
  

Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022

В этой статье затрагиваются вещественные псевдоевклидовы пространства и вещественные евклидовы пространства.

Неравенство Коши-Буняковского(Шварца)

Теорема:
[math]\forall\: x,y\in E:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0[/math] , где [math]\lambda[/math] - число

[math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle =[/math]

[math]\lambda^{2}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\left\langle y;x\right\rangle )+\left\langle y,y\right\rangle =\Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+2\lambda\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0[/math]

[math]D \le 0[/math]

[math] D/4=(\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\Rightarrow|\left\langle x,y\right\rangle |\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert [/math]
[math]\triangleleft[/math]

NB: равенство будет только в случае [math]x=\lambda y[/math]

Теорема (следствие из Коши, неравенство треугольника):
[math]\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]{\Vert x+y \Vert}^{2} = \left\langle x+y; x+y\right\rangle = \Vert x\Vert^{2}+2\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2} [/math]

[math]\left\langle x;y\right\rangle \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert [/math] (по Коши-Буняковскому)

значит, [math]{\Vert x+y \Vert}^{2} \le \Vert x\Vert^{2}+2{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert} + \Vert y\Vert^{2} \le (\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^{2}[/math]

возьмём корень из обоих частей уравнения и получим искомое неравенство
[math]\triangleleft[/math]

Угол между векторами

Определение:
[math]\varphi=\angle(x,y)=arccos\frac{\left\langle x;y\right\rangle }{\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert}[/math]

NB: корректность следует напрямую из неравенства Коши-Буняковского: [math]|\left\langle x,y\right\rangle |\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert[/math]

Расстояние от вектора до подпространства

Определение:
Пусть [math]L[/math] - подпространство [math]E\:(x \in E)[/math] Тогда [math]dist\{x,L\}=inf_{y\in L}(dist\{x,y\})[/math]