Внешняя мера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Если вы купили Ford Mondeo, не говорите об этом математикам! Им ничего не стоит пару раз шмякнуть огромной кувалдой по вашей машинке.)
 
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 7: Строка 7:
 
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
 
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
  
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
+
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
 
}}
 
}}
  
 
Из свойства 2) следует, что для <tex> A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) </tex> {{---}} '''монотонность''' внешней меры.
 
Из свойства 2) следует, что для <tex> A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) </tex> {{---}} '''монотонность''' внешней меры.
  
Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру(такая внешняя мера называется порожденной).
+
Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру (такая внешняя мера называется порожденной).
  
 
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
 
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
Строка 18: Строка 18:
 
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
 
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
  
2) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех возможных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
+
2) Полагаем <tex> \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) </tex>, в противном случае <tex>(\exists E_1, E_2, ..., E_n, ... \in R: A \subset \bigcup\limits_{n} E_n )</tex> ; то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий <tex> A </tex> из полукольца <tex> \mathcal R </tex>.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 29: Строка 29:
 
1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> по аксиомам полукольца, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> по аксиомам меры. <tex> \varnothing \subset \varnothing </tex>, то есть <tex> \varnothing </tex> является наименьшим покрытием <tex> \varnothing </tex>, и <tex> \mu^*(\varnothing) = 0 </tex>.
 
1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> по аксиомам полукольца, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> по аксиомам меры. <tex> \varnothing \subset \varnothing </tex>, то есть <tex> \varnothing </tex> является наименьшим покрытием <tex> \varnothing </tex>, и <tex> \mu^*(\varnothing) = 0 </tex>.
  
2) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits{n} A_n, A, A_n \subset X </tex>.
+
2) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n, A, A_n \subset X </tex>.
  
 
Возможны различные варианты:
 
Возможны различные варианты:
Строка 35: Строка 35:
 
а) Хотя бы одно из множеств <tex> A_n </tex> не покрывается элементами полукольца(пусть <tex> A_{n_0} </tex>). Тогда <tex> \mu^*(A_{n_0}) = + \infty </tex>, и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.
 
а) Хотя бы одно из множеств <tex> A_n </tex> не покрывается элементами полукольца(пусть <tex> A_{n_0} </tex>). Тогда <tex> \mu^*(A_{n_0}) = + \infty </tex>, и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.
  
б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.
+
б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits_{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.
  
 
Если внешняя мера хотя бы одного из множеств <tex> A_n </tex> равна <tex> + \infty </tex>, то неравенство опять всегда верно.
 
Если внешняя мера хотя бы одного из множеств <tex> A_n </tex> равна <tex> + \infty </tex>, то неравенство опять всегда верно.
Строка 49: Строка 49:
 
Итак, <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>, что при <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> дает нам нужный результат.
 
Итак, <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon </tex>, что при <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> дает нам нужный результат.
 
}}
 
}}
 +
 +
Итог: <tex> (X, \mathcal R, m) \rightarrow (X, \mu^*) </tex>, где <tex> \mu^*|_{\mathcal R} = m </tex>
  
 
[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
 
[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 01:22, 8 января 2012

<< >>


Определение:
Внешняя мера на множестве [math] X [/math] - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств [math] X [/math], и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) [math] \mu^* (\varnothing) = 0 [/math]

2) Для [math] A \subset \bigcup\limits_n A_n [/math] выполняется [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность)


Из свойства 2) следует, что для [math] A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) [/math]монотонность внешней меры.

Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру (такая внешняя мера называется порожденной).

Пусть заданы полукольцо [math] (X; \mathcal R) [/math] и мера [math] m [/math] на нем. Тогда для любого множества [math] A \subset X [/math]:

1) Полагаем [math] \mu^*(A) = + \infty [/math], если [math] A [/math] нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.

2) Полагаем [math] \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) [/math], в противном случае [math](\exists E_1, E_2, ..., E_n, ... \in R: A \subset \bigcup\limits_{n} E_n )[/math] ; то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий [math] A [/math] из полукольца [math] \mathcal R [/math].

Теорема:
Определенная нами [math] \mu^* [/math] является корректной внешней мерой на [math] X [/math], при этом, для [math] A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Проверим аксиомы внешней меры:

1) [math] \varnothing \in \mathcal R [/math] по аксиомам полукольца, [math] m(\varnothing) = 0 [/math] по аксиомам меры. [math] \varnothing \subset \varnothing [/math], то есть [math] \varnothing [/math] является наименьшим покрытием [math] \varnothing [/math], и [math] \mu^*(\varnothing) = 0 [/math].

2) Пусть [math] A \subset \bigcup\limits_n A_n, A, A_n \subset X [/math].

Возможны различные варианты:

а) Хотя бы одно из множеств [math] A_n [/math] не покрывается элементами полукольца(пусть [math] A_{n_0} [/math]). Тогда [math] \mu^*(A_{n_0}) = + \infty [/math], и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.

б) Все [math] A_n [/math] покрываются элементами полукольца. Тогда для любого [math] n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits_{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) [/math], где все [math] E_{n_p} [/math] принадлежат полукольцу.

Если внешняя мера хотя бы одного из множеств [math] A_n [/math] равна [math] + \infty [/math], то неравенство опять всегда верно.

В противном случае, по определению нижней грани, для [math] \frac{\varepsilon}{2^n} [/math] подбираем покрытие [math] A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p} [/math] так, чтобы [math] \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) \lt \mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n} [/math].

[math] A \subset \bigcup\limits_{n} A_n \subset \bigcup\limits_{n}\bigcup\limits_{p} E_{n_p} [/math] , значит, [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n}(\sum\limits_{p} m(E_{n_p})) \le [/math] (используя предыдущее неравенство)

[math] \le \sum\limits_{n} (\mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}) = \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon \sum\limits_{n} \frac{1}{2^n} \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon [/math].

Итак, [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon [/math], что при [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math] дает нам нужный результат.
[math]\triangleleft[/math]

Итог: [math] (X, \mathcal R, m) \rightarrow (X, \mu^*) [/math], где [math] \mu^*|_{\mathcal R} = m [/math]

<< >>