Вычисление порядка перестановки в группе перестановок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Написана статья)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 7 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
Для нахождения порядка перестановки достаточно разложить её в произведение независимых циклов (циклических перестановок). Тогда порядок перестановки будет равен [[Наименьшее общее кратное|НОК]] длин всех циклов.
 
 
Для нахождения порядка перестановки достаточно разложить её в произведение независимых циклов (циклических перестановок). Тогда порядок перестановки будет равен НОК длин всех циклов.
 
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 +
|id=lm1
 
|statement=
 
|statement=
Для того, чтобы при перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы каждый цикл был пройден целое число раз.
+
Для того, чтобы перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы каждый цикл был пройден целое число раз.
 
|proof=
 
|proof=
 
Для того, чтобы при перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы любой ее элемент перешел сам в себя, что равносильно тому, что цикл, в который он входит, пройден целое число раз (если пройден не целое, то элемент не перейдет сам в себя)
 
Для того, чтобы при перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы любой ее элемент перешел сам в себя, что равносильно тому, что цикл, в который он входит, пройден целое число раз (если пройден не целое, то элемент не перейдет сам в себя)
 
}}
 
}}
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 +
|id=th4
 +
|about=О порядке перестановки, НОК
 
|statement=
 
|statement=
 
Порядок перестановки равен НОК длин всех её независимых циклов.
 
Порядок перестановки равен НОК длин всех её независимых циклов.
Строка 14: Строка 15:
 
Поскольку при умножении на себя каждый цикл сдвигается на 1, то для того, чтобы перестановка перешла сама в себя, необходимо и достаточно, в силу леммы, чтобы степень перестановки делилась на все длины циклов. Минимальным таким числом является НОК длин циклов.
 
Поскольку при умножении на себя каждый цикл сдвигается на 1, то для того, чтобы перестановка перешла сама в себя, необходимо и достаточно, в силу леммы, чтобы степень перестановки делилась на все длины циклов. Минимальным таким числом является НОК длин циклов.
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:38, 4 сентября 2022

Для нахождения порядка перестановки достаточно разложить её в произведение независимых циклов (циклических перестановок). Тогда порядок перестановки будет равен НОК длин всех циклов.

Лемма:
Для того, чтобы перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы каждый цикл был пройден целое число раз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для того, чтобы при перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы любой ее элемент перешел сам в себя, что равносильно тому, что цикл, в который он входит, пройден целое число раз (если пройден не целое, то элемент не перейдет сам в себя)
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (О порядке перестановки, НОК):
Порядок перестановки равен НОК длин всех её независимых циклов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Поскольку при умножении на себя каждый цикл сдвигается на 1, то для того, чтобы перестановка перешла сама в себя, необходимо и достаточно, в силу леммы, чтобы степень перестановки делилась на все длины циклов. Минимальным таким числом является НОК длин циклов.
[math]\triangleleft[/math]