Редактирование: Гамильтоновы графы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 3: Строка 3:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Гамильтоновым путём''' (англ. ''Hamiltonian path'') называется простой путь, проходящий через каждую вершину графа ровно один раз.
+
'''Гамильтоновым путём''' (англ. ''Hamiltonian path'') называется простой путь, приходящий через каждую вершину графа ровно один раз.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|id = defCycle
 
 
|definition =
 
|definition =
 
'''Гамильтоновым циклом''' (англ. ''Hamiltonian cycle'') называют замкнутый гамильтонов путь.
 
'''Гамильтоновым циклом''' (англ. ''Hamiltonian cycle'') называют замкнутый гамильтонов путь.
Строка 31: Строка 30:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\deg\ v \geqslant n/2</tex>  для любой вершины <tex>v</tex> неориентированного графа  <tex>G</tex>, то  <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов граф.
+
Если <tex>n \ge 3</tex> и <tex>deg\ v \ge n/2</tex>  для любой вершины <tex>v</tex> неориентированного графа  <tex>G</tex>, то  <tex>G</tex> - гамильтонов граф.
 
}}
 
}}
 
 
===[[Теорема Оре|Теорема Оре]]===
 
===[[Теорема Оре|Теорема Оре]]===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\deg\ u + \deg\ v \geqslant n</tex>  для любых двух различных несмежных вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> неориентированного графа  <tex>G</tex>, то  <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов граф.
+
Если <tex>n \ge 3</tex> и <tex>deg\ u + deg\ v \ge n</tex>  для любых двух различных несмежных вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> неориентированного графа  <tex>G</tex>, то  <tex>G</tex> - гамильтонов граф.
 
}}
 
}}
 
 
===[[Теорема Поша|Теорема Поша]]===
 
===[[Теорема Поша|Теорема Поша]]===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 53: Строка 50:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Любой сильносвязный [[Турниры|турнир]] {{---}} гамильтонов.
+
Любой сильносвязный [[Турниры|турнир]] - гамильтонов.
 
}}
 
}}
  
===[[Теорема Гуйя-Ури]]===
+
===Теорема Гуйя-Ури===
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 62: Строка 59:
 
Ghouila-Houri
 
Ghouila-Houri
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} сильносвязный ориентированный граф. <br>
+
Пусть G - сильносвязный ориентированный граф. <br>
 
<tex>
 
<tex>
  
 
\begin{matrix}
 
\begin{matrix}
     \deg^+ v \geqslant n/2 \\
+
     deg^+ v \geq n/2 \\
     \deg^- v \geqslant n/2 \\
+
     deg^- v \geq n/2 \\
  
  
\end{matrix} \Bigg\} \Rightarrow
+
\end{matrix} \Bigg\} \rightarrow
  
</tex> <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов.
+
</tex> G - гамильтонов.
 
}}
 
}}
  
Строка 81: Строка 78:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть:
 
Пусть:
* <tex> G </tex> {{---}} [[Отношение связности, компоненты связности|связный граф]],
+
* <tex> G </tex> [[Отношение связности, компоненты связности|связный граф]],
* <tex> n = |VG| \geqslant 3 </tex> {{---}} количество вершин,
+
* <tex> n = |VG| \geq 3 </tex> количество вершин,
* <tex> d_1 \leqslant  d_2 \leqslant  \ldots \leqslant  d_n </tex> {{---}} его последовательность степеней.
+
* <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n </tex> его последовательность степеней.
 
Тогда если <tex> \forall k \in \mathbb N </tex> верна импликация: <br>
 
Тогда если <tex> \forall k \in \mathbb N </tex> верна импликация: <br>
<center><tex> d_k \leqslant  k < n/2 \Rightarrow d_{n - k} \geqslant n - k, (*) </tex></center>
+
<center><tex> d_k \leq k < n/2 \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k, (*) </tex></center>
 
то граф <tex> G </tex> [[Гамильтоновы графы|гамильтонов]].
 
то граф <tex> G </tex> [[Гамильтоновы графы|гамильтонов]].
 
}}
 
}}
  
 +
==Алгоритм нахождения гамильтового цикла==
  
== Задача о коммивояжере ==
+
Приведём два алгоритма поиска гамильтонова цикла.
 
 
Рассмотрим алгоритм нахождения гамильтонова цикла на примере задачи о коммивояжёре.
 
 
 
==== Описание задачи ====
 
{{Задача
 
|definition =
 
'''Задача о коммивояжере''' (англ. ''Travelling salesman problem, TSP'') — задача, в которой коммивояжер должен посетить <tex> N </tex> городов, побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, чтобы общая длина его пути была наименьшей?
 
}}
 
 
 
==== Варианты решения  ====
 
 
 
Задача о коммивояжере относится к классу [[NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах | NP-полных задач]]. Рассмотрим два варианта решения с экспоненциальным временем работы.
 
 
 
=====  Перебор перестановок =====
 
Можно решить задачу перебором всевозможных [[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса | перестановок]]. Для этого нужно сгенерировать все <tex> N! </tex> всевозможных перестановок вершин исходного графа, подсчитать для каждой перестановки длину маршрута и выбрать минимальный из них. Но тогда задача оказывается неосуществимой даже для достаточно небольших <tex>N</tex>. Сложность алгоритма <tex>O({N!}\times{N})</tex>.
 
 
 
===== Динамическое программирование по подмножествам (по маскам) =====
 
 
 
Задача о коммивояжере представляет собой поиск кратчайшего гамильтонова цикла в графе.
 
Зафиксируем начальную вершину <tex>s</tex> и будем искать гамильтонов цикл наименьшей стоимости — путь от <tex>s</tex> до <tex>s</tex>, проходящий по всем вершинам (кроме первоначальной) один раз. Т.к. искомый цикл проходит через каждую вершину, то выбор <tex>s</tex> не имеет значения. Поэтому будем считать <tex>s = 0 </tex>.
 
 
 
Подмножества вершин будем кодировать битовыми векторами, обозначим <tex>mask_i</tex> значение <tex>i</tex>-ого бита в векторе <tex>mask</tex>.
 
 
 
Обозначим <tex>d[i][mask]</tex> как наименьшую стоимость пути из вершины <tex>i</tex> в вершину <tex>0</tex>, проходящую (не считая вершины <tex>i</tex>) единожды по всем тем и только тем вершинам <tex>j</tex>, для которых <tex>mask_j = 1</tex> (т.е. <tex>d[i][mask]</tex> уже  найденный оптимальный путь от <tex>i</tex>-ой вершины до <tex>0</tex>-ой, проходящий через те вершины, где <tex>mask_j=1</tex>. Если <tex>mask_j=0</tex>,то эти вершины еще не посещены).
 
 
 
Алгоритм поиска цикла будет выглядеть следующим образом:
 
 
 
*Начальное состояние — когда находимся в <tex>0</tex>-й вершине, ни одна вершина не посещена, а пройденный путь равен <tex>0</tex> (т.е. <tex>i = 0</tex> и <tex>mask = 0</tex>).
 
*Для остальных состояний (<tex>i \ne 0</tex> или <tex>mask \ne 0</tex>) перебираем все возможные переходы в <tex>i</tex>-ую вершину из любой посещенной ранее и выбираем минимальный результат.
 
*Если возможные переходы отсутствуют, решения для данной подзадачи не существует (обозначим ответ для такой подзадачи как <tex>\infty</tex>).
 
 
 
Стоимостью минимального гамильтонова цикла в исходном графе будет значение <tex> d[0][2^n-1]</tex> — стоимость пути из <tex>0</tex>-й вершины в <tex>0</tex>-ю, при необходимости посетить все вершины. Данное решение требует <tex>O({2^n}\times{n})</tex> памяти и <tex>O({2^n}\times{n^2})</tex> времени.
 
 
 
Для того, чтобы восстановить сам путь, воспользуемся соотношением <tex> d[i][mask] = w(i, j) + d[j][mask - 2^j] </tex>,  которое выполняется для всех ребер, входящих в минимальный цикл . Начнем с состояния <tex> i = 0 </tex>, <tex> mask = 2^n - 1</tex>, найдем вершину <tex>j</tex>, для которой выполняется указанное соотношение, добавим <tex>j</tex> в ответ, пересчитаем текущее состояние как <tex>i = j</tex>, <tex> mask = mask - 2^j </tex>. Процесс заканчивается в состоянии <tex>i = 0</tex>, <tex> mask = 0 </tex>.
 
 
 
===== Поиск любого гамильтонова пути методом динамического программирования =====
 
 
 
Пусть <tex>d[mask][i]</tex> содержит булево значение — существует ли в подмножестве <tex>mask</tex> гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>.
 
 
 
Сама динамика будет такая: <br>
 
<tex>
 
d[mask][i] = \left\{\begin{array}{llcl}
 
1&;\ |mask| = 1,\ mask_i = 1\\
 
\bigvee_{mask[j]=1, (j, i) \in E}\limits d[mask \oplus 2^i][j] &;\ |mask| > 1,\ mask_i= 1 \\
 
 0&;\ otherwise\\
 
\end{array}\right.
 
</tex>
 
 
 
Это решение требует <tex>O(2^nn)</tex> памяти и <tex>O(2^nn^2)</tex> времени. Эту оценку можно улучшить, если изменить динамику следующим образом.
 
 
 
Пусть теперь <tex>d'[mask]</tex> хранит маску подмножества всех вершин, для которых существует гамильтонов путь в подмножестве <tex>mask</tex>, заканчивающихся в этой вершине. Другими словами, сожмем предыдущую динамику: <tex>d'[mask]</tex> будет равно <tex>\sum_{i \in [0..n-1]}\limits d[mask][i] \cdot 2 ^i </tex>. Для графа <tex>G</tex> выпишем <tex>n</tex> масок <tex>M_i</tex>, для каждой вершины задающие множество вершин, которые связаны ребром с данной вершиной. То есть <tex>M_i = \sum_{j \in [0..n-1]}\limits 2^j \cdot ((i, j) \in E ? 1:0) </tex>.
 
 
 
Тогда динамика перепишется следующим образом: <br>
 
<tex>
 
d'[mask] = \left\{\begin{array}{llcl}
 
mask &;\ |mask| = 1 \\
 
\sum_{i \in [0..n-1] \& mask_i=1}\limits 2^i \cdot ((d[mask \oplus 2^i] \& M_i) \neq 0?1:0) &;\ |mask| > 1 \\
 
 0&;\ otherwise\\
 
\end{array}\right.
 
</tex>
 
 
 
Особое внимание следует уделить выражению <tex>d[mask \oplus 2^i] \& M_i</tex> . Первая часть выражения содержит подмножество вершин, для которых существует гамильтонов путь, заканчивающихся в соответствующих вершинах в подмножестве <tex>mask</tex> без вершины <tex>i</tex>, а вторая — подмножество вершин, связанных с <tex>i</tex> ребром. Если эти множества пересекаются хотя бы по одной вершине (их <tex>\&</tex> не равен <tex>0</tex>), то, как нетрудно понять, в <tex>mask</tex> существует гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>.
 
 
 
Окончательная проверка состоит в сравнении <tex>d[2^n - 1]</tex> c <tex>0</tex>.
 
 
 
Это решение использует <tex>O(2^n)</tex> памяти и имеет асимптотику <tex>O(2^nn)</tex>.
 
 
 
==== Псевдокод ====
 
 
 
Прежде чем писать код, скажем пару слов о порядке обхода состояний. Обозначим за <tex>|mask|</tex> количество единиц в маске (иначе говоря количество пройденных вершин не считая текущей). Тогда, поскольку при рассмотрении состояния <tex>\langle i, mask \rangle</tex> мы смотрим на состояния
 
  
<tex>\langle j, mask - 2^j \rangle</tex>, и <tex>|mask| = |mask - 2^j| + 1</tex>, то состояния с большим <tex>|mask|</tex> должны быть посещены позже, чтобы к моменту вычисления текущего состояния были вычислены все те, которые используются для его подсчёта.
+
bool check_hamiltonian(graph g, bool[] used, int vert, int count, int[] next):
Однако если использовать рекурсию, об этом можно не беспокоиться  (и сэкономить немало кода, времени и памяти).
+
  if (count == g.vertices):
 +
    next[vert] = 0
 +
    return (vert; 0) in g.edges
 +
  for (i = 0; i < g.vertices; i++):
 +
    if (!used[i] && (vert; i) in g.edges):
 +
      used[i] = true
 +
      next[vert] = i
 +
      if (check_hamiltonian(g, used, i, count + 1, next)):
 +
        return true
 +
      used[i] = false
 +
  return false
  
  <span style="color:Green">// все переменные используются из описания алгоритма, <tex>\infty</tex> = бесконечность</span>
+
* used — отметки о посещении
  '''function''' findCheapest(i, mask):
+
* vert — текущая вершина
    '''if''' d[i][mask] != <tex>\infty</tex>
+
* count — количество посещённых вершин
      '''return''' d[i][mask]
 
    '''for''' j = 0 .. n - 1
 
      '''if''' w(i, j) существует '''and''' j-ый бит mask == 1 
 
        d[i][mask] = '''min'''(d[i][mask], findCheapest(j, mask - <tex>2^j</tex>) + w(i, j))
 
  '''return''' d[i][mask]
 
 
 
  '''function''' start():
 
    '''for''' i = 0 .. n - 1
 
      '''for''' mask = 0 .. <tex>2^n</tex> - 1
 
      d[i][mask] = <tex>\infty</tex>
 
    d[0][0] = 0
 
    ans = findCheapest(0, <tex>2^n</tex> - 1)
 
    '''return''' ans
 
Дальше ищем сам цикл:
 
  '''function''' findWay():
 
    i = 0
 
    mask = <tex>2^n</tex> - 1
 
    path.push(0)
 
    '''while''' mask != 0
 
      '''for''' j = 0 .. n - 1
 
        '''if''' w(i, j) существует '''and''' j-ый бит mask == 1 '''and''' d[i][mask] == d[j][mask - <tex>2^j</tex>] + w(i, j)
 
          path.push(j)
 
          i = j
 
          mask = mask - <tex>2^j</tex>
 
          '''continue'''
 
  
==== Алгоритм нахождения гамильтонова цикла ====
+
Приведённая процедура работает следующим образом: перебираются всё рёбра из текущей вершины в ещё не посещённые. Чтобы проверить граф на гамильтоновость, необходимо запустить процедуру из вершины с номером 0 и параметром count = 1. Если процедура возвращает true, то в массиве next будет храниться следующая вершина на гамильтоновом цикле. Этот алгоритм в худшем случае перебирает <tex>(n - 1)!</tex> путей, что даёт сложность работы <tex>O(n!)</tex>.
Алгоритм нахождения гамильтонова цикла легко получить слегка изменив алгоритм нахождения минимального гамильтонова цикла.
 
В массиве <tex>d[i][mask]</tex> мы хранили расстояния, но сейчас нас не интересует какой длины будет это расстояние, так как главной задачей является нахождение цикла. В этом массиве мы теперь просто храним посещение вершин. И каждый раз, когда при запуске находим непосещенную вершину, то запускаем функцию рекурсивно от нее. Если она возвращает <tex> true</tex>, то есть до вершины можно добраться, то записываем, что мы можем посетить вершину. Проходы так же осуществляются по рёбрам.
 
  
==== Алгоритм нахождения гамильтонова пути ====
+
Приведём алгоритм, основанный на динамическом программировании, который работает значительно быстрее. Алгоритм основан на следующей идее: будем для каждой пары из подмножества вершин и вершины считать, существует ли гамильтонов путь для этого подмножества вершин, заканчивающихся в выделенной вершине. Суммарно таких состояний будет <tex>O(n2^n)</tex>, для обсчёта каждого из них требуется <tex>O(n)</tex> времени, то есть, суммарно алгоритм работает за <tex>O(n^22^n)</tex> времени. Псевдокод, реализующий этот алгоритм, приведён ниже:
Алгоритм нахождения гамильтонова пути легко получить, используя алгоритм нахождения гамильтонова цикла. Нужно добавить в граф еще одну вершину и ребра от нее до всех остальных вершин и из всех остальных вершин до неё. И далее запустить алгоритм поиска цикла от новой вершины. В восстановлении пути учтем, что эта вершина лишняя, и не будем записывать её в путь.
 
  
== См. также ==
+
bool[][] get_dp_table(graph g):
 +
  int n = g.vertices
 +
  bool[][] result = new int[1 << n][n];
 +
  for (int i = 0; i < n; i++):
 +
    result[1 << i][i] = (0; i) in g.edges;
 +
  for (int i = 1; i < (1 << n); i++):
 +
    if (count(i) == 1):
 +
      continue
 +
    for (int j = 0; j < n; j++):
 +
      if ((1 << j) & i != 0):
 +
        for (int k = 0; k < n; k++):
 +
          if (k != j && (1 << k) & i != 0):
 +
            result[i][j] = result[(1 << j) ^ i][k] && (k; j) in g.edges
 +
  return result
  
*[[Кратчайший путь в ациклическом графе]]
+
В приведённом выше коде считаем, что n меньше количества бит в числовом типе данных, для операций над множествами используются побитовые логические операции в синтаксисе языка C. Функция count считает количество единичных бит в числе (она проста в реализации, но не относится к алгоритма, поэтому не приводится). Граф гамильтонов тогда, когда dp[(1 << n) - 1][i] && (i; 0) <tex>\in</tex> g.edges для некоторого i.
*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]
 
*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]
 
*[[Задача о рюкзаке]]
 
*[[Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре]]
 
  
==Источники информации==
+
==Источники==
 
*Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.
 
*Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.
 
*Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++. Алгоритмы на графах. — СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002.
 
*Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++. Алгоритмы на графах. — СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002.
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамильтонов_граф Гамильтонов граф]
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамильтонов_граф Гамильтонов граф]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_коммивояжёра Задача коммивояжера в русской википедии]
 
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Problem_des_Handlungsreisenden Задача коммивояжера в немецкой википедии]
 
*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. ISBN 5-7940-0114-3
 
*''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К.'' Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4
 
  
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
+
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]
 
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория:Динамическое программирование]]
 
[[Категория:Классические задачи динамического программирования]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)