Гипотеза Хивуда — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Первая версия)
 
(Теорема о нижней границе хроматического числа поверхности)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 1 участника)
Строка 4: Строка 4:
 
'''Хроматическим числом поверхности поверхности <tex>S_n</tex>''' или '''<tex>n</tex>-ым числом Хивуда''' называется число <tex>\chi \left( S_n \right)</tex>, равное максимальному хроматическому числу графа, который можно уложить на поверхность <tex>n</tex>-ого рода.
 
'''Хроматическим числом поверхности поверхности <tex>S_n</tex>''' или '''<tex>n</tex>-ым числом Хивуда''' называется число <tex>\chi \left( S_n \right)</tex>, равное максимальному хроматическому числу графа, который можно уложить на поверхность <tex>n</tex>-ого рода.
 
}}
 
}}
 +
 +
==Теорема о нижней границе хроматического числа поверхности==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Теорема Хивуда о раскраске карт
+
Теорема Рингеля и Янгса
 
|statement=
 
|statement=
Для любого положительного целого числа <tex>n</tex> хроматическое число поверхности <tex>n</tex>-ого рода определяется формулой <tex>\chi \left( S_n \right) = \left[ \dfrac{ 7 + \sqrt{1 + 48n} }{ 2 } \right]</tex>
+
Для любого положительного целого числа <tex>n</tex> хроматическое число поверхности <tex>n</tex>-ого рода <tex>\chi \left( S_n \right) \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
  
Для начала докажем <tex>\chi \left(S_n\right) \leqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>
+
Воспользуемся формулой Эйлера <tex>V + F - E = 2 - 2n</tex>. Давайте докажем нижнюю границу на <tex>E</tex>. Максимизируем число граней: каждая из них может быть треугольником. Тогда для <tex>E</tex> существует неулучшаемая нижняя граница:
 +
 
 +
<tex>E \geqslant 3 \left( V - 2 + 2n \right)</tex>
 +
 
 +
<tex>n \geqslant \dfrac{1}{6} E - \dfrac{1}{2} \left( V - 2 \right)</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим полный граф <tex>K_p</tex>, тогда получаем, что
 +
 
 +
<tex>\gamma \left( K_p \right) \geqslant \dfrac{1}{6} \dfrac{p (p - 1)}{2} - \dfrac{p - 2}{2}</tex>
 +
 
 +
<tex>\gamma \left( K_p \right) \geqslant \left\{ \dfrac{(p - 3)(p - 4)}{12} \right\}</tex>, функция монотонно возрастает при <tex>p \geqslant 4</tex>, и для любого <tex>n</tex> наибольшее значение функция <tex>\left\{ \dfrac{(p - 3)(p - 4)}{12} \right\}</tex> достигается при <tex>p=\left[\dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>. Поскольку <tex>\chi\left(K_p\right) = p</tex>, откуда получаем, что <tex>\chi \left( S_n \right) \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
==Теорема о верхней границе хроматического числа поверхности==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
Гипотеза Хивуда
 +
|statement=
 +
Для любого положительного целого числа <tex>n</tex> хроматическое число поверхности <tex>n</tex>-ого рода <tex>\chi \left( S_n \right) \leqslant \left[ \dfrac{ 7 + \sqrt{1 + 48n} }{ 2 } \right]</tex>.
 +
|proof=
  
Пусть задан граф <tex>G</tex> с <tex>V</tex> вершина, <tex>E</tex> рёбрами и <tex>F</tex> гранями, также будем считать, что <tex>G</tex> <tex>-</tex> триангуляция (добавляя таким образом рёбра мы всё ещё получаем граф, который можно уложить на поверхности <tex>n</tex>-ого рода). Обозначим за <tex>d</tex> <tex>-</tex> среднюю степень вершины графа <tex>G</tex>, тогда должно быть справедливым следующее равенство:
+
Пусть задан граф <tex>G</tex> с <tex>V</tex> вершина, <tex>E</tex> рёбрами и <tex>F</tex> гранями, также будем считать, что <tex>G</tex> {{---}} триангуляция (добавляя таким образом рёбра мы всё ещё получаем граф, который можно уложить на поверхности <tex>n</tex>-ого рода). Обозначим за <tex>d</tex> {{---}} среднюю степень вершины графа <tex>G</tex>, тогда должно быть справедливым следующее равенство:
  
<tex>dV = 2E = 3F</tex>.
+
<tex>dV = 2E = 3F</tex>  
  
Воспользуемся следующей формулой Эйлера
+
Воспользуемся [[формула Эйлера | формулой Эйлера]] <tex>V - E + F = 2 - 2 n</tex>, откуда
  
<tex>V - E + F = 2 - 2 n</tex>
+
<tex>E = V + F + 2 (n - 1)</tex> и <tex>F = 2 V + 4 (n - 1)</tex>
  
Откуда <tex>E = V + F + 2 (n - 1)</tex> и <tex>F = 2 V + 4 (n - 1)</tex> и подставляя в первое равенство получаем
+
и подставляя в первое равенство получаем
  
 
<tex>dV = 6V + 12(n - 1)</tex>  
 
<tex>dV = 6V + 12(n - 1)</tex>  
Строка 28: Строка 50:
 
<tex>d = 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}</tex>
 
<tex>d = 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}</tex>
  
Поскольку <tex>d \leqslant V - 1</tex>, то получаем, что
+
Поскольку <tex>d \leqslant V - 1</tex>, то
  
<tex>V - 1\geqslant 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}</tex>.
+
<tex>V - 1\geqslant 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}</tex>
  
Найдя единственный положительный корень неравенства получаем
+
Найдём единственный положительный корень неравенства
  
 
<tex>V \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>
 
<tex>V \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>
  
Обозначим за <tex>H(n) = \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>. Если <tex> V \leqslant H(n)</tex>, то тогда граф <tex>G</tex> очевидно можно раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов и неравенство верное. Допустим, что <tex>V > H(n)</tex>, тогда  
+
Обозначим за <tex>H(n) = \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>. Если <tex> V \leqslant H(n)</tex>, то тогда граф <tex>G</tex> очевидно можно раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов и неравенство верное. Допустим, что <tex>V > H(n)</tex>, тогда
  
 
<tex> d < 6 + \dfrac{12(n - 1)}{H(n)} = H(n) - 1</tex>
 
<tex> d < 6 + \dfrac{12(n - 1)}{H(n)} = H(n) - 1</tex>
  
Значит в такое графе существует хотя бы одна вершина степени не больше <tex>H(n) - 2</tex>, стянем её с любой соседней и получим новый граф <tex>G'</tex> с <tex>V - 1</tex> вершинами. Если <tex>V - 1 = H(n)</tex>, то граф <tex>G'</tex> можно раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов, значит и сам граф <tex>G</tex> можно также раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов, иначе снова повторим наш алгоритм.
+
Значит в такое графе существует хотя бы одна вершина степени не больше <tex>H(n) - 2</tex>, стянем её с любой соседней и получим новый граф <tex>G'</tex> с <tex>V - 1</tex> вершинами. Если <tex>V - 1 = H(n)</tex>, то граф <tex>G'</tex> можно раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов, значит и сам граф <tex>G</tex> можно также раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов, если <tex>V - 1 > H(n)</tex>, то опять найдём вершину степени <tex>H(n) - 2</tex> и снова стянем её и будем продолжать так до тех пор, пока не получим желаемый граф.
 
+
}}
Осталось доказать нижнюю границу для <tex>\chi \left(S_n\right)</tex>, для этого воспользуемся неравенством
 
  
<tex>n \geqslant \gamma\left(K_p\right) = \left\{\frac{(p - 3)(p - 4)}{12}\right\}</tex>, функция монотонно возрастает при <tex>p \geqslant 4</tex>, и для любого <tex>n</tex> наибольшее значение функция <tex>\left\{\frac{(p - 3)(p - 4)}{12}\right\}</tex> достигается при <tex>p=\left[\dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>. Поскольку <tex>\chi\left(K_p\right) = p</tex>, откуда получаем, что <tex>H(n)</tex> неулучшаемая нижняя граница для числа <tex>\chi\left(S_n\right)</tex>.
+
Из всего выше сказанного получаем, что <tex>\chi \left(S_n\right)</tex> в точности равно <tex>\left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>.
  
}}
+
==Проблема четырёх красок==
 +
Заметим, что теорема Хивуда не работает при <tex>n = 0</tex>, поэтому [[проблема четырёх красок]] не может быть доказана с помощью этой теоремы, однако при подстановке <tex>n = 0</tex> получаем <tex>\chi \left( S_0 \right) = 4</tex>.
  
 
==См. также==
 
==См. также==
Строка 56: Строка 78:
 
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Heawood_conjecture Wikipedia {{---}} Heawood conjecture]
 
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Heawood_conjecture Wikipedia {{---}} Heawood conjecture]
 
* [https://oeis.org/A000934 Последовательность чисел Хивуда]
 
* [https://oeis.org/A000934 Последовательность чисел Хивуда]
* Харари - Теория графов (стр. 162 - 164)
+
* Ф.Харари «Теория графов» {{---}} М.: Мир, 1973 г. {{---}} стр. 162 - 164

Текущая версия на 20:40, 31 декабря 2019

Определение:
Хроматическим числом поверхности поверхности [math]S_n[/math] или [math]n[/math]-ым числом Хивуда называется число [math]\chi \left( S_n \right)[/math], равное максимальному хроматическому числу графа, который можно уложить на поверхность [math]n[/math]-ого рода.


Теорема о нижней границе хроматического числа поверхности[править]

Теорема (Теорема Рингеля и Янгса):
Для любого положительного целого числа [math]n[/math] хроматическое число поверхности [math]n[/math]-ого рода [math]\chi \left( S_n \right) \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right][/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся формулой Эйлера [math]V + F - E = 2 - 2n[/math]. Давайте докажем нижнюю границу на [math]E[/math]. Максимизируем число граней: каждая из них может быть треугольником. Тогда для [math]E[/math] существует неулучшаемая нижняя граница:

[math]E \geqslant 3 \left( V - 2 + 2n \right)[/math]

[math]n \geqslant \dfrac{1}{6} E - \dfrac{1}{2} \left( V - 2 \right)[/math].

Рассмотрим полный граф [math]K_p[/math], тогда получаем, что

[math]\gamma \left( K_p \right) \geqslant \dfrac{1}{6} \dfrac{p (p - 1)}{2} - \dfrac{p - 2}{2}[/math]

[math]\gamma \left( K_p \right) \geqslant \left\{ \dfrac{(p - 3)(p - 4)}{12} \right\}[/math], функция монотонно возрастает при [math]p \geqslant 4[/math], и для любого [math]n[/math] наибольшее значение функция [math]\left\{ \dfrac{(p - 3)(p - 4)}{12} \right\}[/math] достигается при [math]p=\left[\dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right][/math]. Поскольку [math]\chi\left(K_p\right) = p[/math], откуда получаем, что [math]\chi \left( S_n \right) \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right][/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о верхней границе хроматического числа поверхности[править]

Теорема (Гипотеза Хивуда):
Для любого положительного целого числа [math]n[/math] хроматическое число поверхности [math]n[/math]-ого рода [math]\chi \left( S_n \right) \leqslant \left[ \dfrac{ 7 + \sqrt{1 + 48n} }{ 2 } \right][/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть задан граф [math]G[/math] с [math]V[/math] вершина, [math]E[/math] рёбрами и [math]F[/math] гранями, также будем считать, что [math]G[/math] — триангуляция (добавляя таким образом рёбра мы всё ещё получаем граф, который можно уложить на поверхности [math]n[/math]-ого рода). Обозначим за [math]d[/math] — среднюю степень вершины графа [math]G[/math], тогда должно быть справедливым следующее равенство:

[math]dV = 2E = 3F[/math]

Воспользуемся формулой Эйлера [math]V - E + F = 2 - 2 n[/math], откуда

[math]E = V + F + 2 (n - 1)[/math] и [math]F = 2 V + 4 (n - 1)[/math]

и подставляя в первое равенство получаем

[math]dV = 6V + 12(n - 1)[/math]

[math]d = 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}[/math]

Поскольку [math]d \leqslant V - 1[/math], то

[math]V - 1\geqslant 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}[/math]

Найдём единственный положительный корень неравенства

[math]V \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right][/math]

Обозначим за [math]H(n) = \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right][/math]. Если [math] V \leqslant H(n)[/math], то тогда граф [math]G[/math] очевидно можно раскрасить в [math]H(n)[/math] цветов и неравенство верное. Допустим, что [math]V \gt H(n)[/math], тогда

[math] d \lt 6 + \dfrac{12(n - 1)}{H(n)} = H(n) - 1[/math]

Значит в такое графе существует хотя бы одна вершина степени не больше [math]H(n) - 2[/math], стянем её с любой соседней и получим новый граф [math]G'[/math] с [math]V - 1[/math] вершинами. Если [math]V - 1 = H(n)[/math], то граф [math]G'[/math] можно раскрасить в [math]H(n)[/math] цветов, значит и сам граф [math]G[/math] можно также раскрасить в [math]H(n)[/math] цветов, если [math]V - 1 \gt H(n)[/math], то опять найдём вершину степени [math]H(n) - 2[/math] и снова стянем её и будем продолжать так до тех пор, пока не получим желаемый граф.
[math]\triangleleft[/math]

Из всего выше сказанного получаем, что [math]\chi \left(S_n\right)[/math] в точности равно [math]\left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right][/math].

Проблема четырёх красок[править]

Заметим, что теорема Хивуда не работает при [math]n = 0[/math], поэтому проблема четырёх красок не может быть доказана с помощью этой теоремы, однако при подстановке [math]n = 0[/math] получаем [math]\chi \left( S_0 \right) = 4[/math].

См. также[править]

Источники информации[править]