Граф блоков-точек сочленения

Определение:

Пусть граф [math]G[/math] вершинно двусвязен. Обозначим [math]A_1...A_n[/math] - блоки, а [math]a_1...a_m[/math] - точки сочленения [math]G[/math]. Построим двудольный граф [math]T[/math], поместив [math]A_1...A_n[/math] и [math]a_1...a_m[/math] в различные его доли. Если точка сочленения принадлежит блоку, проведем между ними ребро. Полученный граф [math]T[/math] называют графом блоков-точек сочленения графа [math]G[/math].

Лемма:

В определениях, приведенных выше, [math]T[/math] - дерево.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Достаточно показать, что в [math]T[/math] нет циклов. Пусть [math]A_i, a_k, A_j: a_k \in A_i, A_j[/math] - последовательные вершины [math]T[/math] и пусть они лежат на цикле. Тогда существует последовательность точек сочленения и блоков, соединяющая [math]A_i[/math] и [math]A_j[/math] и не содержащая [math]a_k[/math]. По ней можно проложить путь в [math]G[/math] (можем переходить из блока в блок по точке сочленения и из одной части блока в другую) и замкнуть его в вершине [math]a_k[/math], получив цикл, что противоречит тому, что [math]a_k[/math] - точка сочленения. Пусть аналогично [math]a_i, A_k, a_j: a_i, a_j \in A_k[/math] - лежащая на цикле последовательные вершины [math]T[/math]. В этом случае рассуждение такое же, и [math]a_i[/math] и [math]a_j[/math] не смогут быть точками сочленения из-за цикла в [math]G[/math].

[math]\triangleleft[/math]

См. также Граф компонент реберной двусвязности