Двойственный матроид — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 10: Строка 10:
  
 
# Следует из <tex> | \mathcal B | = | \mathcal B^* | </tex>.  
 
# Следует из <tex> | \mathcal B | = | \mathcal B^* | </tex>.  
# Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex>. Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B): </tex> <tex> \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 \Rightarrow B_1 = B_2 \Rightarrow \overline {B_1} = \overline {B_2} </tex> {{---}} противоречие.
+
# Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex>. Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B): </tex> <tex> \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 </tex>, а [[Теорема_о_базах#definition | определение базы]] гласит, что в таком случае <tex> B_1 = B_2 </tex>, тогд противоречие.
# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*</tex>  и  <tex> p\in \overline{B_1}.</tex> Так как <tex> p\notin {B_1},</tex> то в <tex> B_1 \cup p </tex> имеется точно один цикл <tex>C</tex> (в противном случае для каких-нибудь двух циклов верно <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, и по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 </tex> {{---}} цикл такой, что <tex> C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>, но кроме того выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие). Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, т.к. разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.
+
# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*</tex>  и  <tex> p\in \overline{B_1}.</tex> Так как <tex> p\notin {B_1},</tex> то в <tex> B_1 \cup p </tex> имеется цикл <tex>C</tex>, причём единственный (в противном случае для каких-нибудь двух циклов верно <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, и по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 </tex> {{---}} цикл такой, что <tex> C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>, но кроме того выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие). Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, т.к. разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.
 
}}
 
}}
  

Версия 23:20, 4 июня 2014

Определение:
Двойственный матроид к [math] M = \; \langle X, B \rangle[/math] — это матроид [math]M^* = \; \langle X, \mathcal B^* \rangle[/math], где [math] \mathcal B^* = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} [/math] — множество всех кобаз матроида [math]M.[/math]


Теорема:
Множество [math]\mathcal B^*[/math] удовлетворяет аксиомам баз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Следует из [math] | \mathcal B | = | \mathcal B^* | [/math].
  2. Предположим [math]\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} [/math]. Тогда по второй аксиоме баз для [math] B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B): [/math] [math] \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 [/math], а определение базы гласит, что в таком случае [math] B_1 = B_2 [/math], тогд противоречие.
  3. Пусть [math] \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*[/math] и [math] p\in \overline{B_1}.[/math] Так как [math] p\notin {B_1},[/math] то в [math] B_1 \cup p [/math] имеется цикл [math]C[/math], причём единственный (в противном случае для каких-нибудь двух циклов верно [math] p \in C_1, C_2 [/math], и по 3-му свойству циклов [math] \exists C_3 [/math] — цикл такой, что [math] C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p [/math], но кроме того выполнено [math] (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 [/math] — противоречие). Поскольку цикл [math]C[/math] не лежит в [math]B_2[/math], существует [math]q \in C \cap \overline {B_2}.[/math] Множество [math](B_1 \cup p) \setminus q[/math] не содержит циклов, т.к. разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и [math]|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.[/math] Следовательно, [math] (B_1 \cup p) \setminus q[/math] — база. Тогда [math]\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,[/math] где [math]q \in \overline {B_2}.[/math] То есть выполняется третья аксиома баз.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Двойственный матроид к [math] M = \; \langle X, I \rangle[/math] — это матроид [math]M^* = \langle X, I^* \rangle[/math], где [math]I^* = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing\}[/math]


Теорема:
Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Введём следующие обозначения:

[math] M_1^* = \; \langle X, I_1 \rangle [/math] — двойственный к [math] M [/math] матроид по первому определению
[math] M_2^* = \; \langle X, I_2 \rangle [/math] — по второму.

Необходимо показать: [math] I_1 = I_2 [/math]

  • [math] A \in I_1 \Rightarrow A \in I_2 [/math]
    Для начала покажем от противного, что [math] \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B [/math].
    Предположим [math] S \in I [/math] — множество максимального размера среди таких, что [math] A \subseteq S [/math], причём [math] S [/math] — не база. Возмём также какое-нибудь [math] B \in \mathcal B[/math].
    Раз [math] S [/math] не база, то [math] |S| \lt |B| [/math]. В таком случае по 3-ей аксиоме матроидов [math] \exists b \in B: \ S \cup b \in I [/math]. Получили противоречие, поскольку [math] S \cup b [/math] имеет большую мощность чем [math] S [/math].
    Итак, возьмём [math] B [/math] — базу [math] M_1^* [/math], включающую в себя [math] A [/math]. По определению 1 [math]B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B [/math]. Поскольку [math] B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B [/math], то [math] A \cap \overline B = \varnothing [/math]. В таком случае по определению 2 [math] A \in I_2 [/math].
  • [math] A \in I_2 \Rightarrow A \in I_1 [/math]
    [math] A \in I_2 [/math] означает что [math] \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing [/math]. Последнее можно записать иначе: [math] A \subseteq \overline B [/math].
    Кроме того [math] B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 [/math] по определению [math] M_1^* [/math]. Получили [math] A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 [/math], откуда следует [math] A \in I_1 [/math].
[math]\triangleleft[/math]

См.также