Двойственный матроид — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Добавлена лемма про дополнение до базы)
Строка 2: Строка 2:
 
|about=1
 
|about=1
 
|definition=
 
|definition=
'''Двойственный матроид к <tex> M = \; \langle X, B \rangle</tex>''' - это [[Определение_матроида | матроид]] <tex>M^* = \; \langle X, \mathcal B^* \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} </tex> - множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>
+
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, B \rangle</tex> {{---}} это [[Определение_матроида | матроид]] <tex>M^* = \; \langle X, \mathcal B^* \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} </tex> - множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>
 
}}
 
}}
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement= Множество <tex>B^*</tex> удовлетворяет [[Аксиоматизация_матроида_базами | аксиомам баз]].
 
|statement= Множество <tex>B^*</tex> удовлетворяет [[Аксиоматизация_матроида_базами | аксиомам баз]].
Строка 17: Строка 18:
 
|about=2
 
|about=2
 
|definition=
 
|definition=
'''Двойственный матроид к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex>''' - это матроид <tex>M^* = \langle X, I^* \rangle</tex>, где <tex>I^* = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B, A \cap B = \varnothing\}</tex>
+
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex> {{---}} это матроид <tex>M^* = \langle X, I^* \rangle</tex>, где <tex>I^* = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: A \cap B = \varnothing\}</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|statement= Пусть <tex> A \in I </tex>. Тогда <tex> \exists B \in \mathcal B: A \in B </tex>
 +
|proof= Докажем от противного.
 +
Пускай <tex> C \in I </tex> - множество максимального размера среди таких, что <tex> A \in C </tex>, причём <tex> C </tex> не база. Возмём также какое-нибудь <tex> B \in \mathcal B</tex>.
 +
Раз <tex> C </tex> не база, то <tex> |C| < |B| </tex>. В таком случае по 3-ему свойству матроида <tex> \exists b \in B: C \cap b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> C \cap b </tex> имеет большую мощность чем <tex> C </tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 15:58, 22 мая 2014

Определение:
Двойственный матроид к [math] M = \; \langle X, B \rangle[/math] — это матроид [math]M^* = \; \langle X, \mathcal B^* \rangle[/math], где [math] \mathcal B^* = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} [/math] - множество всех кобаз матроида [math]M.[/math]


Теорема:
Множество [math]B^*[/math] удовлетворяет аксиомам баз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • 1. Пусть [math]B_1, B_2 \in \mathcal B.[/math] [math]B_1 \subseteq B_2 \Leftrightarrow \overline {B_1} \supseteq \overline {B_2}.[/math] Тогда по первой аксиоме для [math]B_{1,2} [/math] [math]: \overline {B_2} = \overline {B_1}.[/math]
  • 2. Пусть [math] \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*[/math] и [math] p\in \overline{B_1}.[/math] Так как [math] p\notin {B_1},[/math] то в [math] B_1 \cup p [/math] имеется точно один цикл [math]C[/math]. Поскольку цикл [math]C[/math] не лежит в [math]B_2[/math], существует [math]q \in C \cap \overline {B_2}.[/math] Множество [math](B_1 \cup p) \setminus q[/math] не содержит циклов, т.к. разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и [math]|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.[/math] Следовательно, [math] (B_1 \cup p) \setminus q[/math] - база. Тогда [math]\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,[/math] где [math]q \in \overline {B_2}.[/math] То есть выполняется вторая аксиома баз.
[math]\triangleleft[/math]
Эта статья находится в разработке!


Определение:
Двойственный матроид к [math] M = \; \langle X, I \rangle[/math] — это матроид [math]M^* = \langle X, I^* \rangle[/math], где [math]I^* = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: A \cap B = \varnothing\}[/math]


Лемма:
Пусть [math] A \in I [/math]. Тогда [math] \exists B \in \mathcal B: A \in B [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем от противного. Пускай [math] C \in I [/math] - множество максимального размера среди таких, что [math] A \in C [/math], причём [math] C [/math] не база. Возмём также какое-нибудь [math] B \in \mathcal B[/math].

Раз [math] C [/math] не база, то [math] |C| \lt |B| [/math]. В таком случае по 3-ему свойству матроида [math] \exists b \in B: C \cap b \in I [/math]. Получили противоречие, поскольку [math] C \cap b [/math] имеет большую мощность чем [math] C [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Положим [math] M^* = \; \langle X, I \rangle [/math]; [math] M_1^* = \; \langle X, I_1 \rangle [/math] - двойственный к нему матроид по первому определению, [math] M_2^* = \; \langle X, I_2 \rangle [/math] - по второму.

Требуется показать, что [math] I_1 = I_2 [/math]

  • [math] A \in I_1 \Rightarrow A \in I_2 [/math]
    Дополним [math] A [/math] до базы ([math] B [/math]). [math]B \in I_1 \Rightarrow \overline B \in I [/math]. Поскольку [math] B \cap \overline B = \varnothing [/math], то [math] B \in I_2 [/math]. Так как [math] A \in B [/math], то [math] A \cap \overline B = \varnothing [/math]
  • [math] A \in I_2 \Rightarrow A \in I_1 [/math]
    Возьмём [math] B: A \cap B = \varnothing [/math]. [math] \overline B \in I_1,\ I_2 [/math]. [math] A \in \overline B \Rightarrow A \in I_1[/math]
[math]\triangleleft[/math]

См.также