Редактирование: Двудольные графы и раскраска в 2 цвета

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
#перенаправление [[Раскраска двудольного графа в два цвета]]
+
{{Определение
 +
 +
|definition=
 +
Неориентированный граф <tex>G = (W,E)</tex> называется '''двудольным''', если множество его вершин можно разбить на две части  <tex> U \cup V = W , \mid U\mid > 0, \mid V\mid > 0</tex>, так, что ни одна вершина в <tex>U</tex> не соединена с вершинами в <tex>U</tex> и ни одна вершина в <tex>V</tex> не соединена с вершинами в <tex>V</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
==Теорема Кенига==
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
Кёниг
 +
|statement=
 +
Граф <tex> G </tex> с конечным числом вершин является двудольным <tex> \iff </tex> когда все циклы в графе <tex> G </tex> имеют чётную длину.
 +
|proof=
 +
 
 +
''Достаточность.''
 +
 
 +
[[Файл:Двудольный граф.jpg|thumb|upright|Пример двудольного графа]]
 +
 
 +
 
 +
Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доли <tex> U </tex>. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы подняться в <tex> U </tex> снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным. Очевидно, что в двудольном графе нет петель.
 +
 
 +
 
 +
''Необходимость.''
 +
 
 +
Пусть ненулевой граф <tex> G </tex> связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину <tex> u </tex> и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества <tex> V_0 </tex> и <tex> V_1 </tex> так, чтобы в <tex> V_0 </tex> лежали вершины <tex> v_0 </tex>, такие что кратчайшая цепь <tex>(u, v_0)</tex> была чётной длины, а в <tex> V_1 </tex> соответственно вершины <tex>v_1</tex>, для которых длина цепи <tex>(u, v_1)</tex> - нечётная. При этом <tex> u \in V_0 </tex>
 +
 
 +
В <tex> G </tex>
 +
}}
 +
 
 +
== Раскраска в 2 цвета ==
 +
 
 +
Так как множество вершин двудольного графа можно разделить на 2 независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества <tex>\Rightarrow</tex> граф <tex>G = (W,E)</tex> -  2 - раскрашиваем. <tex>\chi(G) = 2</tex>.
 +
 
 +
Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину.
 +
На каждом шаге обхода в глубину метим вершину. Допустим мы пошли в первую вершину - добавляем ее в множество <tex> U </tex>. То есть ставим метку <tex> 1 </tex>. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то метим ее как <tex> 2 </tex> (то есть добавляем во множество <tex> V </tex> ) и рекурсивно переходим в нее. Если же она мечена и у нее такая же метка как у нашей - то все граф не двудольный.
 +
 
 +
 
 +
== Источники ==
 +
1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''<br />
 +
2. Харари Ф. - Теория графов. '''ISBN 978-5-397-00622-4'''
 +
 
 +
==См. также ==
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/graph-coloring-layout| Графы. Раскраски и укладки.]
 +
 
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Раскраски графов]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)