Двудольные графы и раскраска в 2 цвета — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
 
 
 
 
 
|definition=
 
|definition=
Неориентированный граф <tex> G =(W, E) </tex> называется '''двудольным''', если множество его вершин можно разбить на две части <tex> U \cup V = W , \mid U\mid > 0, \mid V\mid > 0 </tex>, так, что ни одна вершина в <tex> U </tex> не соединена с вершинами в <tex> U </tex> и ни одна вершина в <tex> V </tex> не соединена с вершинами в <tex> V </tex>.
+
Неориентированный граф <tex> G =(W, E) </tex> называется '''двудольным''', если множество его вершин можно разбить на две части <tex>U \cup V = W , |U| > 0, |V| > 0</tex>, так, что ни одна вершина в <tex>U</tex> не соединена с вершинами в <tex> U </tex> и ни одна вершина в <tex> V </tex> не соединена с вершинами в <tex>V</tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 01:02, 17 января 2012

Определение:
Неориентированный граф [math] G =(W, E) [/math] называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части [math]U \cup V = W , |U| \gt 0, |V| \gt 0[/math], так, что ни одна вершина в [math]U[/math] не соединена с вершинами в [math] U [/math] и ни одна вершина в [math] V [/math] не соединена с вершинами в [math]V[/math].


Пример двудольного графа


Раскраска в 2 цвета

Теорема:
Если множество вершин двудольного графа можно разделить на два независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества, тогда граф [math]G = (W, E)[/math] — 2-раскрашиваем. [math]\chi(G) = 2[/math]. Это эквивалентно тому, что граф будет двудольным, если он 2-раскрашиваем, а значит множество его вершин можно разделить на два непересекающихся множества так, чтобы в каждом из них не нашлось двух смежных вершин.

Теорема Кенига

Теорема (Кениг):
Граф [math] G [/math] является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы в графе [math] G [/math] имеют чётную длину.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Достаточность.

Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доли [math] U [/math]. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы вернуться в [math] U [/math] снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным.

Необходимость.

Пусть ненулевой граф [math] G [/math] связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину [math] u [/math] и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества [math] U [/math] и [math] V [/math] так, чтобы в [math] U [/math] лежали вершины [math] v_0 [/math], такие что кратчайшая цепь [math](u, v_0)[/math] была чётной длины, а в [math] V [/math] соответственно вершины [math]v_1[/math], для которых длина цепи [math](u, v_1)[/math] - нечётная. При этом [math] u \in U [/math].

В графе [math] G [/math] нет ребер [math]ab[/math], таких что [math]a, b [/math] лежат одновременно в [math] U [/math] и [math]V[/math]. Докажем это от противного. Пусть [math]a, b \in U [/math]. Зададим [math] P_0 [/math] - кратчайшая [math] (u, a) [/math] цепь, а [math] P_1 [/math]- кратчайшая [math] (u, b) [/math] цепь. Обе цепи четной длины. Пусть [math] v_0 [/math] - последняя вершина цепи [math] P_0 [/math], принадлежащая [math] P_1 [/math]. Тогда подцепи от [math] u [/math] до [math] v_0 [/math] в [math] P_0[/math] и [math]P_1[/math] имеют одинаковую длину (иначе бы, пройдя по более короткой подцепи от [math]u[/math] до [math]v_0[/math] мы смогли бы найти более короткую цепь от [math] u [/math] до [math] a [/math] или от [math] u [/math] до [math] b [/math], чем цепь [math] P_0 [/math] или [math] P_1 [/math] ). Так как подцепи от [math] v_0 [/math] до [math] a [/math] и от [math] v_0 [/math] до [math] b [/math] в цепях [math] P_0 [/math] и [math] P_1 [/math] имеют одинаковую четность, а значит в сумме с ребром [math] ab [/math] они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину. На каждом шаге обхода в глубину помечаем вершину. Допустим мы пошли в первую вершину - помечаем её как [math] 1 [/math]. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то на ней ставим пометку [math] 2 [/math] и рекурсивно переходим в нее. Если же она помечена и на ней стоит та же пометка, что и у той, из которой шли(в нашем случае [math] 1 [/math]), значит граф не двудольный.


Источники

1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
2. Харари Ф. - Теория графов. ISBN 978-5-397-00622-4

См. также