Декартово дерево по неявному ключу

«	Декартово дерево правит миром. За логарифм.	»
— Неизвестный автор

Постановка задачи

Возьмем структуру данных вектор. В её стандартной реализации мы умеем добавить элемент в конец, узнать значение элемента и изменить элемент по номеру, и удалить последний элемент. Расширим круг задач: теперь мы хотим добавлять элемент в любое место (с соответствующим изменением нумерации элементов) и удалять любой элемент (с тем же самым уточнением). Теперь нам нужно придумать структуру, называемую Декартово дерево по неявному ключу, или же rope(англ.веревка).

Основная идея

Напомним, Декартово дерево — это структура данных, объединяющая в себе бинарное дерево поиска и бинарную кучу. Для решения задачи, поставленной в предыдущей главе, попробуем слегка модифицировать эту структуру. Если конкретнее, то оставим в нем только один ключ - ключ [math]Y[/math]. Вместо второго ключа будем использовать следующую величину: количество элементов в нашей структуре, находящихся левее нашего элемента. Если проще, то будем считать ключом порядковый номер нашего элемента в дереве, уменьшенный на единицу. Заметим, что при этом сохранится структура двоичного дерева поиска по этому ключу(т.е. наше модифицированное декартово дерево так и останется декартовым деревом). Однако, с этим подходом появляется две проблемы: наши операции добавления и удаления элемента могут поменять нумерацию, и при наивной реализации на изменение всех ключей потребуется [math]O(n)[/math] времени, где [math]n[/math] — количество элементов в дереве.