Редактирование: Декомпозиция Эдмондса-Галлаи

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас '''Татт''' (''William Thomas Tutte''), Клод '''Берж''' (''Claude Berge''), Джек '''Эдмондс''' (''Jack Edmonds'') и Тибор '''Галлаи''' (''Tibor Gallai'').
+
В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас '''Татт''' (''William Thomas Tutte''), Клауд '''Берж'''(''Claude Brege''), Джек '''Эдмондс'''(''Jack Edmonds'') и Тибор '''Галлаи'''(''Tibor Gallai'').
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\mathrm{odd}(G)</tex> - количество [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонент связности]] нечетного размера в <tex> G</tex>.}}
 +
 
 
{{Определение  
 
{{Определение  
|id = deficit
 
 
|definition=
 
|definition=
'''Дефицитом''' (англ. ''deficit'') графа <tex>G</tex> мы будем называть величину: <br>
+
'''Дефицитом''' графа G мы будем называть величину: <br>
 
<tex>\mathrm{def}(G) = |V| - 2\alpha (G)</tex>, <br>
 
<tex>\mathrm{def}(G) = |V| - 2\alpha (G)</tex>, <br>
где <tex>\alpha (G)</tex> {{---}} размер [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#theorem1|максимального паросочетания]] в <tex>G</tex>, а <br>
+
где <tex>\alpha (G)</tex> - размер [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимального паросочетания]] в <tex>G</tex>, а <br>
<tex>V(G)</tex> {{---}} множество вершин графа <tex>G. </tex>
+
<tex>V(G)</tex> - множество вершин графа <tex>G</tex>
 
}}
 
}}
 +
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|id = Th_Berge
 
 
|about=Бержа
 
|about=Бержа
 
|statement=
 
|statement=
Для любого графа <tex>G</tex> выполняется:<br>
+
Для любого графа G выполняется:<br>
<tex>\mathrm{def}(G) = \max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}. </tex>
+
<tex>\mathrm{def}(G) = \max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}.</tex>
 
}}
 
}}
  
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|id = theorem_Tatt_Berge
 
 
|about=Татта-Бержа
 
|about=Татта-Бержа
 
|statement=
 
|statement=
 
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
 
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
<tex>\mathrm{\alpha}(G) = \min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|+|U|-\mathrm{odd}(G - U)\}. </tex>
+
<tex>\mathrm{ \alpha} (G) = \min\limits_{U \in V} \{1/2(|V|-|U|-\mathrm{odd}(G-U)\} </tex>
|proof=
 
Предположим <tex>G</tex> {{---}} связный, иначе мы можем применить индукцию к компонентам <tex>G</tex>. Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. <br>
 
<u> ''База  индукции:''</u> <br>
 
Очевидно, для <tex> n = 1 </tex> утверждение верно. <br>
 
<u> ''Индукционный переход:''</u> <br>
 
Рассмотрим два случая:
 
# <tex>G</tex> {{---}} содержит вершину <tex>v</tex> покрытую всеми максимальными паросочетаниями (например средняя вершина)
 
#: Тогда <tex> \mathrm{\alpha}(G - v) = \mathrm{\alpha}(G) - 1 </tex>.
 
#: По индукции, формула Татта-Берджа содержит <tex>G - v</tex> для некоторого множества  <tex>U'</tex>. Пусть <tex>U = U' \bigcup v</tex>. Тогда:
 
#: <tex> \mathrm{\alpha}(G) = \mathrm{\alpha}(G - v) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V - v|+|U - v| - \mathrm{odd}(G - v - (U - v))) + 1 = </tex>
 
#: <tex> = \dfrac{1}{2}(|V| - 1 + |U|- 1 - \mathrm{odd}(G - U)) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V|+|U| - \mathrm{odd}(G - U)). </tex>
 
#:
 
# Для каждой вершины <tex>v</tex> есть максимальное паросочетание <tex>M</tex> которое не покрывает <tex>v</tex> (например <tex>C_3</tex>)
 
#:
 
#: Покажем, что существует паросочетание размера <tex> \dfrac{1}{2}(|V| - 1) </tex>, из которого следует теорема (при <tex> U = \emptyset </tex>).
 
#: <u> ''От противного:''</u>
 
#: Предположим что любое максимальная паросочетание <tex> M </tex> не покрывает, по крайней мере, две различные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Среди всех таких <tex> (M, u, v) </tex> выберем их так, что <tex> \mathrm{d}(u, u) </tex> в <tex> G </tex> {{---}} минимально.
 
#: Если <tex> \mathrm{d}(u, u) = 1 </tex>, то <tex> u </tex> и <tex> v </tex> являются смежными, и, следовательно, мы можем увеличить <tex> M </tex>, что противоречит его максимальности.
 
#: Значит <tex> \mathrm{d}(u, u) \geqslant 2 </tex>, и, следовательно, мы можем выбрать промежуточную вершину <tex> t </tex> на пути <tex> u-v </tex> и <tex> N </tex> максимальное паросочетание, такое что симметрическая разность с <tex> M </tex> минимальна. Так как <tex> (M, u, v) </tex> минимально, то <tex> N </tex> должно охватывать <tex> u </tex> и <tex> v </tex> так, что есть другая вершина <tex> x </tex>, покрытая только в <tex> M </tex>.
 
#: Пусть <tex> y </tex> будет вершиной покрытой с <tex> x </tex> в <tex> M </tex> и заметим <tex> y \neq t </tex> (иначе можно было бы добавить к <tex> N </tex>). Пусть <tex> z </tex> будет вершиной покрытой с <tex> y </tex> в <tex> N </tex> и заметим <tex> z \neq x </tex> (так как <tex> x </tex> не покрыто в <tex> N </tex>). Тогда <tex> N - yz + xy </tex> {{---}} паросочетание, которое имеет с <tex> M </tex> меньшую симметрическую разность, что противоречит выбору <tex> N </tex>.
 
 
}}
 
}}
 +
 +
 
{{Определение  
 
{{Определение  
|id=barrier
 
 
|definition=
 
|definition=
Множество <tex>S \subset V (G)</tex>, для которого <tex>\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) </tex>, называется '''барьером''' (англ. ''barrier'').
+
Множество <tex>S \subset V (G)</tex>, для которого <tex>\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) </tex>, называется '''барьером'''.
 
}}
 
}}
 +
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' (англ. ''neighbors'') <tex>X</tex> определим формулой:  <tex>N(X)= \{  y \in V:(x,y) \in E \}</tex>
+
|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' (англ. ''neighbors'')<tex>X</tex> определим формулой:  <tex>N(X)= \{  y \in V: (x,y) \in E \}</tex>
 
}}
 
}}
  
  
==Структурная теорема Эдмондса-Галлаи==
+
 
 +
=Структурная теорема Эдмондса-Галлаи=
 
{{Определение  
 
{{Определение  
|neat = 1
 
 
|definition=
 
|definition=
Структурные единицы декопозиции:
+
Необходимые определения:
# <tex>D(G) = \{v \in V \mid </tex> существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]], не покрывающее <tex> v\}</tex>
+
[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]
 +
# <tex>D(G) = \{v \in V |</tex> существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]], не покрывающее <tex> v\}</tex>
 
# <tex>A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)</tex>
 
# <tex>A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)</tex>
# <tex>C(G) = V \setminus(D(G) \bigcup A(G))</tex>
+
# <tex>C(G) = V \setminus( D(G) \bigcup A(G) )</tex>
# <tex> \alpha (G) </tex> {{---}} размер максимального паросочетания в <tex> G. </tex>
+
# <tex> \alpha (G) </tex> - размер максимального паросочетания в <tex>G</tex> (англ. ''maximum matching in G'')
 
}}
 
}}
[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]
+
 
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
 
Граф <tex>G</tex> называется '''фактор-критическим''' (англ. ''factor-critical graph''), если для любой вершины <tex>v \in G</tex> в графе <tex>G \setminus {v}</tex> существует [[Теорема Холла#def1|совершенное паросочетание]].
 
Граф <tex>G</tex> называется '''фактор-критическим''' (англ. ''factor-critical graph''), если для любой вершины <tex>v \in G</tex> в графе <tex>G \setminus {v}</tex> существует [[Теорема Холла#def1|совершенное паросочетание]].
 
}}
 
}}
 +
 +
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|id = theorem_Gallai
 
 
|about=Галлаи
 
|about=Галлаи
 
|statement=
 
|statement=
<tex>G</tex> {{---}} фактор-критический граф <tex> \Leftrightarrow </tex> <br>
+
<tex>G</tex> - фактор-критический граф <tex> \Leftrightarrow </tex> <br>
<tex>G</tex> {{---}} связен и для любой вершины <tex>u \in V(G) </tex> выполняется равенство <tex> \alpha (G - u) = \alpha  (G)</tex>.
+
<tex>G</tex> - связен и для любой вершины <tex>u \in V(G) </tex> выполняется равенство <tex> \alpha (G - u) = \alpha  (G)</tex>.
 
}}
 
}}
 
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|id = stability_lemma
 
 
|about= Галлаи, о стабильности (англ. ''stability lemma'')
 
|about= Галлаи, о стабильности (англ. ''stability lemma'')
 
|statement=
 
|statement=
Строка 90: Строка 75:
 
# <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.</tex>
 
# <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Для начала докажем, что <tex>D(G - a) = D(G)</tex>. <br>
+
Достаточно доказать, что <tex>D(G - a) = D(G)</tex>. <br>
[[Файл: Gallai-lema-a.png|150px|thumb|right|Случай '''а''']]
+
# покажем, что <tex>D(G - a) \supset D(G)</tex> : <br>
[[Файл: Gallai-lema-b.png|150px|thumb|right|Случай '''b''']]
+
Пусть <tex>u \in D(G)</tex>. Тогда существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]] <tex>M_u</tex> графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>u</tex>. Поскольку любое максимальное паросочетание графа <tex>G</tex> покрывает a, то <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1 </tex> и более того, если, для некоторой вершины <tex>x \in D(G)</tex>, <tex>ax \in M_u</tex>, то <tex>M_u \setminus {ax} </tex> -  максимальное паросочетание графа <tex> G - a </tex>, не покрывающее <tex> u </tex>. Таким образом, <tex>D(G - a) \supset D(G) </tex>. <br>
[[Файл: Gallai-lema-с.png|150px|thumb|right|Случай '''c''']]
 
# Покажем, что <tex>D(G - a) \supset D(G)</tex> : <br>
 
#:Пусть <tex>u \in D(G)</tex>. Тогда существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]] <tex>M_u</tex> графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>u</tex>. Поскольку любое максимальное паросочетание графа <tex>G</tex> покрывает <tex>a</tex>, то <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1 </tex> и более того, если, для некоторой вершины <tex>x \in D(G)</tex>, <tex>ax \in M_u</tex>, то <tex>M_u \setminus {ax} </tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex> G - a </tex>, не покрывающее <tex> u </tex>. Таким образом, <tex>D(G - a) \supset D(G) </tex>. <br>
 
 
#покажем, что <tex> D(G - a) \subset D(G)</tex>: <br>
 
#покажем, что <tex> D(G - a) \subset D(G)</tex>: <br>
Предположим, что существует максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex> G - a</tex>, не покрывающее вершину <tex>v</tex> <tex> \notin D(G)</tex>. Пусть <tex> w \in D(G) </tex> {{---}} смежная с <tex> a \in A(G)</tex> вершина, а <tex> M_w </tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> w </tex>. Так как <tex>v</tex> <tex> \notin D(G) </tex>, максимальное паросочетание <tex> M_w </tex> покрывает вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим граф <tex> H = G(M_w \bigcup M') </tex> {{---}} очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть <tex> U </tex> {{---}} компонента связности графа <tex> H </tex>, содержащая <tex>v</tex>. Так как <tex> deg_H(v) = 1 </tex> (степень вершины), то <tex> P = H(U) </tex> {{---}} путь с началом в вершине <tex>v</tex>. В пути <tex>P</tex> чередуются рёбра из <tex> M_w</tex> и <tex>M' </tex>, причём начинается путь ребром из <tex>M_w </tex>. Так как <tex> deg_H(a) = 1 </tex>, то вершина a либо не принадлежит пути <tex>P</tex>, либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию <tex> M_w</tex>). Рассмотрим несколько случаев: <br>
+
Предположим, что существует максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex> G - a</tex>, не покрывающее вершину <tex>v</tex> <tex>not \in D(G)</tex>. Пусть <tex> w \in D(G) </tex> - смежная с <tex> a \in A(G)</tex> вершина, а <tex> M_w </tex>- максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> w </tex>. Так как <tex>v</tex> <tex>not \in D(G) </tex>, максимальное паросочетание <tex> M_w </tex> покрывает вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим граф <tex> H = G(M_w \bigcup M') </tex> - очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть <tex> U </tex> - компонента связности графа <tex> H </tex>, содержащая <tex>v</tex>. Так как <tex> deg_H(v) = 1 </tex>(степень вершины), то <tex> P = H(U) </tex> - путь с началом в вершине <tex>v</tex>. В пути <tex>P</tex> чередуются рёбра из <tex> M_w и M' </tex>, причём начинается путь ребром из <tex>M_w </tex>. Так как <tex> deg_H(a) = 1 </tex>, то вершина a либо не принадлежит пути <tex>P</tex>, либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию <tex> M_w</tex>). Рассмотрим несколько случаев: <br>
  
 +
[[Файл: Gallai-lema-a.png|150px|thumb|right|случай '''а''']]
 
'''a.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M'</tex> (см. рисунок)<br>
 
'''a.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M'</tex> (см. рисунок)<br>
 
Рассмотрим паросочетание <tex>M_v = M_w \oplus E(P)</tex> (симметрическая разность
 
Рассмотрим паросочетание <tex>M_v = M_w \oplus E(P)</tex> (симметрическая разность
<tex> M_w</tex> и <tex>E(P)</tex>. то есть, рёбра, входящие ровно в одно из двух множеств).
+
<tex> M_w и E(P)</tex>. то есть, рёбра, входящие ровно в одно из двух множеств).
Очевидно, <tex>M_v</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>v</tex>, поэтому <tex> v \in D(G)</tex>, противоречие. <br>
+
Очевидно, <tex>M_v</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>v</tex>, поэтому <tex> v \in D(G)</tex>, противоречие. <br>
  
'''b.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M_w</tex>, вершина <tex>a</tex> {{---}} конец пути <tex>P</tex>. (см.рисунок)<br>
+
[[Файл: Gallai-lema-b.png|150px|thumb|right|случай '''b''']]
Рассмотрим паросочетание <tex>M_v∗ = (M_w \oplus E(P)) \bigcup \{aw\} </tex>. Тогда <tex> M_v∗ </tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> v </tex>, поэтому <tex> v \in D(G) </tex>, противоречие.
+
'''b.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M_w</tex>, вершина a - конец пути <tex>P</tex>. (см.рисунок)<br>
 +
Рассмотрим паросочетание <tex>M_v∗ = (M_w \oplus E(P)) \bigcup \{aw\} </tex>. Тогда <tex> M_v∗ </tex> - максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> v </tex>, поэтому <tex> v \in D(G) </tex>, противоречие.
  
 +
[[Файл: Gallai-lema-с.png|150px|thumb|right|случай '''c''']]
 
'''c.'''  Путь <tex> P </tex> кончается ребром из <tex> M_w, a \in V(P) </tex> (см. рисунок)
 
'''c.'''  Путь <tex> P </tex> кончается ребром из <tex> M_w, a \in V(P) </tex> (см. рисунок)
 
Рассмотрим паросочетание <tex> M'' = M \oplus E(P) </tex>. Тогда <tex> |M''| = |M'| + 1 </tex>, причём <tex>M'' \subset E(G - a)</tex>. Противоречие с максимальностью паросочетания <tex>M'</tex>.
 
Рассмотрим паросочетание <tex> M'' = M \oplus E(P) </tex>. Тогда <tex> |M''| = |M'| + 1 </tex>, причём <tex>M'' \subset E(G - a)</tex>. Противоречие с максимальностью паросочетания <tex>M'</tex>.
 +
  
 
Таким образом, наше предположение невозможно и <tex>D(G - a) \subset D(G)</tex>.
 
Таким образом, наше предположение невозможно и <tex>D(G - a) \subset D(G)</tex>.
 +
 
А значит, <tex>D(G - a) = D(G)</tex>.
 
А значит, <tex>D(G - a) = D(G)</tex>.
 
 
Так как <tex>D(G - a) = D(G)</tex>, то все вершины, которые были соседями <tex>D(G)</tex>, таковыми и остались. Однако, по условию <tex> a \in A(G)</tex>, значит <tex>A(G - a) = A(G) \setminus \{a\}</tex>.
 
 
 
Так же заметим, что <tex>C(G - a) = V(G - a) \setminus (D(G - a) \cup A(G - a)) = V(G - a) \setminus (D(G) \cup (A(G) \setminus \{a\}))</tex><tex> = V(G) \setminus (D(G) \cup A(G)) = C(G)</tex>
 
 
 
Наконец, так как <tex> a \in A(G)</tex>, то все максимальные паросочетания в <tex>G</tex> включали <tex>a</tex>. Следовательно, <tex>\alpha (G - a) < \alpha (G)</tex>. Заметим, что, взяв любое максимальное паросочетания в <tex>G</tex> и удалив ребро инцидентное <tex>a</tex>, мы получим паросочетание <tex>M'</tex>, которое на 1 меньше исходного, при этом <tex>M' \in E(G - a)</tex>. В свою очередь, это самое большое паросочетание, которое мы могли теоретически получить в <tex>G - a</tex>. Следовательно, <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.</tex>
 
 
}}
 
}}
  
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|id = theorem_Gallai_Edmonds
 
 
|about = Галлаи, Эдмондс
 
|about = Галлаи, Эдмондс
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф, <tex>U_1\ldots U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, <tex>D_i = G(U_i), C = G(C(G))</tex>. Тогда:
+
Пусть G - граф, <tex>U_1,{...},U_n</tex> - компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, <tex>D_i = G(U_i), C = G(C(G))</tex>. тогда:
 +
 
 
# Граф <tex>C</tex> имеет совершенное паросочетание.<br>
 
# Граф <tex>C</tex> имеет совершенное паросочетание.<br>
# Графы <tex>D_1\ldots D_n</tex> {{---}} фактор-критические. <br>
+
# Графы <tex>D_1,{...},D_n</tex> - фактор-критические. <br>
# Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex> G </tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex> C </tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex> D_1\ldots D_n </tex> и покрывает все вершины множества <tex> A(G) </tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex> U_1\ldots U_n. </tex> <br>
+
# Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex>C</tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex>D_1,{...},D_n</tex> и покрывает все вершины множества <tex>A(G)</tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex>U_1,{...},U_n</tex> <br>
# <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|.</tex> <br>
+
# <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|, 2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>.
# <tex>2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>.
+
 
 
|proof=
 
|proof=
 
[[Файл: Edmonds-Gallai_2.png|300px|thumb|right|Пример]]
 
[[Файл: Edmonds-Gallai_2.png|300px|thumb|right|Пример]]
# Последовательно удаляя вершины множества <tex>A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:
+
# Последовательно удаляя вершины множества<tex> A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:
 
#:* <tex>D(G - A) = D(G),</tex>  
 
#:* <tex>D(G - A) = D(G),</tex>  
 
#:* <tex>A(G - A) = \O, </tex>
 
#:* <tex>A(G - A) = \O, </tex>
Строка 142: Строка 120:
 
#:* <tex>\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.</tex>
 
#:* <tex>\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.</tex>
 
#:
 
#:
#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт <tex>1)</tex>.
+
#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт 1).
 
#:
 
#:
# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1\ldots U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи (мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> {{---}} фактор-критический.
+
# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1,{...},U_n</tex>- компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> - компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи(выше) мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> - фактор-критический.
 
#:
 
#:
# Пусть <tex>M</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \geqslant |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам <tex>1)</tex> и <tex>2)</tex> очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1\ldots D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1\ldots U_n</tex>.  
+
# Пусть <tex>M</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1,{...},D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1,{...},U_n</tex>.  
# Из пункта <tex>3)</tex> сразу же следуют равенства пункта <tex>4)</tex> и <tex>5)</tex>.
+
# Из пункта 3) сразу же следуют оба равенства пункта 4).
 +
 
 +
 
 
}}
 
}}
  
Строка 153: Строка 133:
 
|about=следствие из теоремы
 
|about=следствие из теоремы
 
|statement=
 
|statement=
<tex>A(G)</tex> {{---}} '''барьер''' графа <tex>G</tex>
+
<tex>A(G)</tex> - '''барьер''' графа <tex>G</tex>
}}
 
 
 
{{Лемма
 
|id = barier_struct1
 
|about = о связи барьера с <tex>D(G)</tex>
 
|statement= Для любого барьера <tex>B</tex> графа <tex>G</tex> верно, что <tex>B\cap D(G) = \varnothing</tex>
 
|proof= Рассмотрим <tex>U_{1}, U_{2},  \ldots U_{n}</tex> {{---}} нечётные компоненты связанности <tex>G \setminus B</tex>, <tex>\ M</tex> {{---}} максимальное паросочетание в <tex>G</tex>. <tex>\forall\ U_{i}\ \exists x \in U_{i}: x</tex> не покрыта <tex>\ M</tex> или <tex>xv \in M \land v \in B</tex>. Всего графе не покрыто хотя бы <tex>odd(G\setminus B) - |B|</tex> вершин. Однако, так как <tex>B</tex> {{---}} барьер, непокрыто '''ровно''' столько вершин. Следовательно, любое максимальное паросочетание не покрывает только вершины из <tex>G \setminus B</tex>, а значит каждая вершина барьера покрыта в любом максимальном паросочетании. Отсюда получаем, что ни одна вершина из <tex>D(G)</tex> не могла оказаться в барьере.
 
}}
 
 
 
{{Утверждение
 
|id = barier_struct1a
 
|about=Следствие из леммы
 
|statement=В любом максимальном паросочетании все вершины барьера соединены соединены с вершинами <tex>G \setminus B</tex>
 
|proof=Так как для барьера <tex>B</tex> верно, что <tex>odd(G\setminus B) - |B|=def(G) \geqslant 0</tex>, то ровно <tex>|B|</tex> вершин из нечётных компонент <tex>G \setminus B</tex> покрыты рёбрами <tex>xv \in M \land v \in B</tex>
 
}}
 
 
 
{{Лемма
 
|id = barier_struct2
 
|about = о дополнении барьера
 
|statement= Пусть <tex>x\in A(G)\cup C(G),\ G'=G\setminus x,\ B'</tex> {{---}} барьер графа <tex>G'</tex>. Тогда <tex>B=B'\cup x</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>
 
|proof= Так как <tex>x \notin D(G)</tex>, то для любого максимального паросочетания <tex>M: x \in M</tex>. Следовательно, <tex>|M'| = |M| - 1</tex>, где <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание в <tex>G'</tex>.
 
 
 
<tex>def(G') = (|V| - 1)- 2 \cdot |M'| = |V| - 2 \cdot |M| + 1 = def(G) + 1</tex>
 
 
 
<tex>odd(G - (B'\cup x)) = odd(G' - B') = </tex><tex>|B'| + def(G') = |B'| + 1 + def(G) = |B'\cup x| + def(G)</tex>
 
Отсюда следует, что <tex>B</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>.
 
}}
 
 
 
{{Теорема
 
|id=barier_struct3
 
|about=о структуре барьера
 
|statement=Любой барьер графа состоит только из вершин <tex>A(G)\cup C(G)</tex>, причём каждая вершина из этого множества входит в какой-то барьер
 
|proof=По лемме о связи барьера с <tex>D(G)</tex> мы знаем, что в барьере нет вершин вершин из <tex>D(G)</tex>. По лемме о дополнение барьера мы можем взять любую вершину из <tex>A(G)\cup C(G)</tex>, удалить из графа, и с помощью барьера нового графа получить барьер исходного, включающий данную вершину.
 
 
}}
 
}}
  
== См. также ==
 
* [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания]]
 
* [[Лапы и минимальные по включению барьеры в графе]]
 
* [[Пересечение всех максимальных по включению барьеров]]
 
  
== Источники информации==
+
== Источники ==
 
*[http://www.people.vcu.edu/~dcranston/691/edmonds-gallai.pdf Edmonds-Gallai Decomposition and Factor-Critical Graphs]
 
*[http://www.people.vcu.edu/~dcranston/691/edmonds-gallai.pdf Edmonds-Gallai Decomposition and Factor-Critical Graphs]
*[http://immorlica.com/combOpt/lec2.pdf Edmonds-Gallai Decomposition, Edmonds’ Algorithm]
+
*[http://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/211/graphs_dk.pdf Д.В Карпов - теория графов]
  
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Задача о паросочетании]]
 
[[Категория:Задача о паросочетании]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)