Декомпозиция Эдмондса-Галлаи — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (правки)
м (правки)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
'''Дефицитом''' графа <tex>G</tex> мы будем называть величину: <br>
+
'''Дефицитом''' (англ. ''deficit'') графа <tex>G</tex> мы будем называть величину: <br>
 
<tex>\mathrm{def}(G) = |V| - 2\alpha (G)</tex>, <br>
 
<tex>\mathrm{def}(G) = |V| - 2\alpha (G)</tex>, <br>
где <tex>\alpha (G)</tex> - размер [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#theorem1|максимального паросочетания]] в <tex>G</tex>, а <br>
+
где <tex>\alpha (G)</tex> {{---}} размер [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#theorem1|максимального паросочетания]] в <tex>G</tex>, а <br>
<tex>V(G)</tex> - множество вершин графа <tex>G</tex>
+
<tex>V(G)</tex> {{---}} множество вершин графа <tex>G. </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 12: Строка 12:
 
|statement=
 
|statement=
 
Для любого графа <tex>G</tex> выполняется:<br>
 
Для любого графа <tex>G</tex> выполняется:<br>
<tex>\mathrm{def}(G) = \max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}.</tex>
+
<tex>\mathrm{def}(G) = \max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}. </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 20: Строка 20:
 
|statement=
 
|statement=
 
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
 
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
<tex>\mathrm{ \alpha} (G) = \min\limits_{U \in V} \{1/2(|V|-|U|-\mathrm{odd}(G-U)\} </tex>
+
<tex>\mathrm{ \alpha} (G) = \min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|-|U|-\mathrm{odd}(G-U)\}. </tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
Множество <tex>S \subset V (G)</tex>, для которого <tex>\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) </tex>, называется '''барьером'''.
+
Множество <tex>S \subset V (G)</tex>, для которого <tex>\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) </tex>, называется '''барьером''' (англ. ''barrier'').
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 37: Строка 37:
 
Необходимые определения:
 
Необходимые определения:
 
[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]
 
[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]
# <tex>D(G) = \{v \in V |</tex> существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]], не покрывающее <tex> v\}</tex>
+
# <tex>D(G) = \{v \in V \mid </tex> существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание]], не покрывающее <tex> v\}</tex>
 
# <tex>A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)</tex>
 
# <tex>A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)</tex>
 
# <tex>C(G) = V \setminus(D(G) \bigcup A(G))</tex>
 
# <tex>C(G) = V \setminus(D(G) \bigcup A(G))</tex>
# <tex> \alpha (G) </tex> {{---}} размер максимального паросочетания в <tex>G</tex> (англ. ''maximum matching in G'')
+
# <tex> \alpha (G) </tex> {{---}} размер максимального паросочетания в <tex> G. </tex>
 
}}
 
}}
 
{{Определение  
 
{{Определение  
Строка 95: Строка 95:
 
# Граф <tex>C</tex> имеет совершенное паросочетание.<br>
 
# Граф <tex>C</tex> имеет совершенное паросочетание.<br>
 
# Графы <tex>D_1,{...},D_n</tex> {{---}} фактор-критические. <br>
 
# Графы <tex>D_1,{...},D_n</tex> {{---}} фактор-критические. <br>
# Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex>C</tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex>D_1,{...},D_n</tex> и покрывает все вершины множества <tex>A(G)</tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex>U_1,{...},U_n</tex> <br>
+
# Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex> G </tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex> C </tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex> D_1,{...},D_n </tex> и покрывает все вершины множества <tex> A(G) </tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex> U_1,{...},U_n. </tex> <br>
# <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|, 2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>.
+
# <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|.</tex> <br>
 +
# <tex>2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
[[Файл: Edmonds-Gallai_2.png|300px|thumb|right|Пример]]
 
[[Файл: Edmonds-Gallai_2.png|300px|thumb|right|Пример]]
Строка 110: Строка 111:
 
#:
 
#:
 
# Пусть <tex>M</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1,{...},D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1,{...},U_n</tex>.  
 
# Пусть <tex>M</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1,{...},D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1,{...},U_n</tex>.  
# Из пункта 3) сразу же следуют оба равенства пункта 4).
+
# Из пункта 3) сразу же следуют равенства пункта 4) и 5).
 
}}
 
}}
  
Строка 119: Строка 120:
 
}}
 
}}
  
== Источники ==
+
== См. также ==
 +
* [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания]]
 +
 
 +
== Источники информации==
 
*[http://www.people.vcu.edu/~dcranston/691/edmonds-gallai.pdf Edmonds-Gallai Decomposition and Factor-Critical Graphs]
 
*[http://www.people.vcu.edu/~dcranston/691/edmonds-gallai.pdf Edmonds-Gallai Decomposition and Factor-Critical Graphs]
*[http://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/211/graphs_dk.pdf Д.В Карпов - теория графов]
+
*[http://immorlica.com/combOpt/lec2.pdf Edmonds-Gallai Decomposition, Edmonds’ Algorithm]
  
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Задача о паросочетании]]
 
[[Категория:Задача о паросочетании]]

Версия 13:26, 22 января 2016

В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас Татт (William Thomas Tutte), Клауд Берж (Claude Brege), Джек Эдмондс (Jack Edmonds) и Тибор Галлаи (Tibor Gallai).

Определение:
Дефицитом (англ. deficit) графа [math]G[/math] мы будем называть величину:

[math]\mathrm{def}(G) = |V| - 2\alpha (G)[/math],
где [math]\alpha (G)[/math] — размер максимального паросочетания в [math]G[/math], а

[math]V(G)[/math] — множество вершин графа [math]G. [/math]


Теорема (Бержа):
Для любого графа [math]G[/math] выполняется:
[math]\mathrm{def}(G) = \max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}. [/math]


Теорема (Татта-Бержа):
Дан граф [math]G[/math], размер максимального паросочетания в нем равен:
[math]\mathrm{ \alpha} (G) = \min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|-|U|-\mathrm{odd}(G-U)\}. [/math]


Определение:
Множество [math]S \subset V (G)[/math], для которого [math]\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) [/math], называется барьером (англ. barrier).


Определение:
Пусть [math]X \subset V [/math]. Множeство соседей (англ. neighbors) [math]X[/math] определим формулой: [math]N(X)= \{ y \in V:(x,y) \in E \}[/math]


Структурная теорема Эдмондса-Галлаи

Определение:
Необходимые определения:
Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным
  1. [math]D(G) = \{v \in V \mid [/math] существует максимальное паросочетание, не покрывающее [math] v\}[/math]
  2. [math]A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)[/math]
  3. [math]C(G) = V \setminus(D(G) \bigcup A(G))[/math]
  4. [math] \alpha (G) [/math] — размер максимального паросочетания в [math] G. [/math]


Определение:
Граф [math]G[/math] называется фактор-критическим (англ. factor-critical graph), если для любой вершины [math]v \in G[/math] в графе [math]G \setminus {v}[/math] существует совершенное паросочетание.


Теорема (Галлаи):
[math]G[/math] — фактор-критический граф [math] \Leftrightarrow [/math]
[math]G[/math] — связен и для любой вершины [math]u \in V(G) [/math] выполняется равенство [math] \alpha (G - u) = \alpha (G)[/math].


Лемма (Галлаи, о стабильности (англ. stability lemma)):
Пусть [math] a \in A(G).[/math] Тогда:
  1. [math]D(G - a) = D(G)[/math]
  2. [math]A(G - a) = A(G) \setminus \{a\}[/math]
  3. [math]C(G - a) = C(G)[/math]
  4. [math] \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Достаточно доказать, что [math]D(G - a) = D(G)[/math].

Случай а
Случай b
Случай c
  1. покажем, что [math]D(G - a) \supset D(G)[/math] :
    Пусть [math]u \in D(G)[/math]. Тогда существует максимальное паросочетание [math]M_u[/math] графа [math]G[/math], не покрывающее [math]u[/math]. Поскольку любое максимальное паросочетание графа [math]G[/math] покрывает [math]a[/math], то [math] \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1 [/math] и более того, если, для некоторой вершины [math]x \in D(G)[/math], [math]ax \in M_u[/math], то [math]M_u \setminus {ax} [/math] — максимальное паросочетание графа [math] G - a [/math], не покрывающее [math] u [/math]. Таким образом, [math]D(G - a) \supset D(G) [/math].
  2. покажем, что [math] D(G - a) \subset D(G)[/math]:

Предположим, что существует максимальное паросочетание [math]M'[/math] графа [math] G - a[/math], не покрывающее вершину [math]v[/math] [math] \notin D(G)[/math]. Пусть [math] w \in D(G) [/math] — смежная с [math] a \in A(G)[/math] вершина, а [math] M_w [/math] — максимальное паросочетание графа [math] G [/math], не покрывающее [math] w [/math]. Так как [math]v[/math] [math] \notin D(G) [/math], максимальное паросочетание [math] M_w [/math] покрывает вершину [math]v[/math]. Рассмотрим граф [math] H = G(M_w \bigcup M') [/math] — очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть [math] U [/math] — компонента связности графа [math] H [/math], содержащая [math]v[/math]. Так как [math] deg_H(v) = 1 [/math] (степень вершины), то [math] P = H(U) [/math] — путь с началом в вершине [math]v[/math]. В пути [math]P[/math] чередуются рёбра из [math] M_w[/math] и [math]M' [/math], причём начинается путь ребром из [math]M_w [/math]. Так как [math] deg_H(a) = 1 [/math], то вершина a либо не принадлежит пути [math]P[/math], либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию [math] M_w[/math]). Рассмотрим несколько случаев:

a. Путь [math]P[/math] кончается ребром из [math] M'[/math] (см. рисунок)
Рассмотрим паросочетание [math]M_v = M_w \oplus E(P)[/math] (симметрическая разность [math] M_w[/math] и [math]E(P)[/math]. то есть, рёбра, входящие ровно в одно из двух множеств). Очевидно, [math]M_v[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G[/math], не покрывающее [math]v[/math], поэтому [math] v \in D(G)[/math], противоречие.

b. Путь [math]P[/math] кончается ребром из [math] M_w[/math], вершина [math]a[/math] — конец пути [math]P[/math]. (см.рисунок)
Рассмотрим паросочетание [math]M_v∗ = (M_w \oplus E(P)) \bigcup \{aw\} [/math]. Тогда [math] M_v∗ [/math] — максимальное паросочетание графа [math] G [/math], не покрывающее [math] v [/math], поэтому [math] v \in D(G) [/math], противоречие.

c. Путь [math] P [/math] кончается ребром из [math] M_w, a \in V(P) [/math] (см. рисунок) Рассмотрим паросочетание [math] M'' = M \oplus E(P) [/math]. Тогда [math] |M''| = |M'| + 1 [/math], причём [math]M'' \subset E(G - a)[/math]. Противоречие с максимальностью паросочетания [math]M'[/math].

Таким образом, наше предположение невозможно и [math]D(G - a) \subset D(G)[/math].

А значит, [math]D(G - a) = D(G)[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Теорема (Галлаи, Эдмондс):
Пусть G — граф, [math]U_1,{...},U_n[/math] — компоненты связности графа [math]G(D(G))[/math], [math]D_i = G(U_i), C = G(C(G))[/math]. тогда:
  1. Граф [math]C[/math] имеет совершенное паросочетание.
  2. Графы [math]D_1,{...},D_n[/math] — фактор-критические.
  3. Любое максимальное паросочетание [math]M[/math] графа [math] G [/math] состоит из совершенного паросочетания графа [math] C [/math], почти совершенных паросочетаний графов [math] D_1,{...},D_n [/math] и покрывает все вершины множества [math] A(G) [/math] рёбрами с концами в различных компонентах связности [math] U_1,{...},U_n. [/math]
  4. [math]\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|.[/math]
  5. [math]2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пример
  1. Последовательно удаляя вершины множества [math]A = A(G)[/math], по лемме о стабильности мы получим:
    • [math]D(G - A) = D(G),[/math]
    • [math]A(G - A) = \O, [/math]
    • [math]C(G - A) = C(G),[/math]
    • [math]\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.[/math]
    Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из [math]C(G - A)[/math] и [math]D(G - A)[/math]. Каждое максимальное паросочетание [math]M'[/math] графа [math]G - A[/math] покрывает все вершины множества [math]C(G)[/math], поэтому [math]M'[/math] содержит совершенное паросочетание графа [math]C[/math]. Тем самым, мы доказали пункт 1).
  2. Из формулы [math] \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] следует, что [math]U_1,{...},U_n[/math] — компоненты связности графа [math]G - A[/math]. Для любой вершины [math]u \in U_i[/math] существует максимальное паросочетание [math]M_u[/math] графа [math]G - A[/math], не содержащее [math]u[/math]. Так как [math]U_i[/math] — компонента связности графа [math]G - A[/math], паросочетание [math]M_u[/math] содержит максимальное паросочетание графа [math]D_i[/math] (разумеется, не покрывающее вершину [math]u[/math]). Следовательно, [math] \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) [/math] и по теореме Галлаи (выше) мы получаем, что граф [math]D_i[/math] — фактор-критический.
  3. Пусть [math]M[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G[/math], а [math]M'[/math] получено из [math]M[/math] удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества [math]A[/math]. Тогда [math]|M'| \ge |M| - |A|[/math] и по формуле [math] \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] понятно, что [math]M'[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G - A[/math]. Более того, из [math] \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] следует [math]|M'| = |M| - |A|[/math], а значит, все вершины множества [math]A[/math] покрыты в [math]M[/math] различными рёбрами. Так как [math]M'[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G - A[/math], то по пунктам 1) и 2) очевидно, что [math]M'[/math] содержит совершенное паросочетание графа [math]C[/math] и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов [math]D_1,{...},D_n[/math]. Значит, рёбра паросочетания [math]M[/math] соединяют вершины [math]A[/math] с непокрытыми [math]M'[/math] вершинами различных компонент связности из [math]U_1,{...},U_n[/math].
  4. Из пункта 3) сразу же следуют равенства пункта 4) и 5).
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (следствие из теоремы):
[math]A(G)[/math]барьер графа [math]G[/math]

См. также

Источники информации