Дерево, эквивалентные определения

Определение:

Дерево — связный ациклический граф.

Определение:

Лес — граф, являющийся набором непересекающихся деревьев.

Определения

Для графа G эвивалентны следущие утверждения:

1. G - дерево
2. Любые две вершины графа G соединены единственным простым путем
3. G - связен и [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] - количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер
4. G - ацикличен и [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] - количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер
5. G - ацикличен и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется цикл
6. G - связный граф, отличный от [math] K_p [/math] для [math] p \gt = 3 [/math], а также при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется цикл
7. G - граф, отличный от [math] K_3 \cup K_1 [/math] и [math] K_3 \cup K_2 [/math], а также [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] - количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер, и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется цикл

Доказательство эквивалентности

• [math] 1 \Rightarrow 2 [/math] Граф связен, значит любые две вершнины соединены путем, ацикличен, значит путь единственен, а так же прост, так как никакой путь не может зайти в одну вершину два раза, потому что это противоречит ацикличности.

• [math] 2 \Rightarrow 3 [/math] Очевидно, граф связен. Докажем по индукции, соотношение [math]p = q + 1[/math]. Утверждение очевидно для связных графов с одной и двумя вершинами. Предположим, что оно верно для графов, имеющих меньше [math]p[/math] вершин. Если же граф [math]G[/math] имеет [math]p[/math] вершин, то удаление из него любого ребра делает граф [math] G [/math] несвязным в силу единственности простых цепей; более того, получаемый граф будет иметь в точност две компоненты. По предположению индукции в каждой компоненте число вершин на еденицу больше числа ребер. Таким образом, [math] q = p - 1 [/math] или [math] p = q + 1 [/math].

• [math] 3 \Rightarrow 4 [/math] Очевидно, что если граф связен и ребер на одно меньше, чем вершин, то он ацикличен. Преположим, что у нас есть p вершин, и мы добавлеям ребра. Если мы добавили ребро для получения цикла, то добавили второй путь между парой вершин, а значит нам не хватит его на добавление вершины и мы получим не связный граф, что противоречит условию.

Литература

• Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
• Википедия — свободная энциклопедия