Дерево, эквивалентные определения

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Определения

Определение:
Ациклический граф - граф, в котором нет циклов.


Определение:
Дерево - это связный ациклический граф.


Определение:
Граф, не содержащий циклов, называется лесом.

Теорема

Теорема:
Для графа [math]G[/math] с [math]p[/math] вершинами и [math]q[/math] ребрами следующие утверждения эквивалентны:

1) [math]G[/math] - дерево;

2) любые две вершины в [math]G[/math] соединены единственной простой цепью;

3) [math]G[/math] связный граф и [math]p = q + 1[/math];

4) [math]G[/math] ациклический граф и [math]p = q + 1[/math];

5) [math]G[/math] - ациклический граф, и если любую праву несмежных вершин соединить ребром [math]x[/math], то в графе [math]G + x[/math] будет точно один простой цикл;

6) [math]G[/math] - связный граф, отличный от Kp для [math]p \ge 3[/math], и если любую пару несмежных вершин соединить ребром [math]x[/math], то в графе [math]G + x[/math] будет точно один простой цикл;

7) [math]G[/math] - Граф, отличный от K3 [math]\cup[/math] K1 и K3[math]\cup[/math] K2, [math]p = q + 1[/math], и если любую пару несмежных вершин соединить ребром [math]x[/math], то в графе [math]G + x[/math] будет точно один простой цикл.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для примера докажем эквивалентность первых четырёх утверждений.

1) [math] \to [/math] 2) Поскольку [math]G[/math] связный граф, то любые две его вершины соединены простой цепью. Пусть [math]P_1[/math] и [math]P_2[/math] - две различные простые цепи, соединяющие вершины [math]u[/math] и [math]v[/math], и пусть [math]w[/math] - первая вершина, принадлежащая [math]P_1[/math] (при переходе по [math]P_1[/math] из [math]u[/math] в [math]v[/math]), такая, что [math]w[/math] принадлежит и [math]P_1[/math] и [math]P_2[/math], но вершина, предшествующая ей в [math]P_1[/math], не принадлежит [math]P_2[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Следствие:

В любом нетривиальном дереве имеется по крайней мере две висячие вершины.

Литература

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6