Дерево Фенвика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
| definition =
+
|definition=
 
'''Дерево Фе&#769;нвика (Binary indexed tree)''' - структура данных, требующая <tex> O(n) </tex> памяти и позволяющая эффективно (за <tex> O(log n) </tex>)
 
'''Дерево Фе&#769;нвика (Binary indexed tree)''' - структура данных, требующая <tex> O(n) </tex> памяти и позволяющая эффективно (за <tex> O(log n) </tex>)
 
# изменять значение любого элемента в массиве;
 
# изменять значение любого элемента в массиве;
Строка 9: Строка 9:
 
Пусть дан массив <tex> A </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> a_i, i = \overline{0, n} </tex>.<br/>
 
Пусть дан массив <tex> A </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> a_i, i = \overline{0, n} </tex>.<br/>
 
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k, i = \overline{0, n} </tex>, где <tex> F(i) </tex> - некоторая функция.
 
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k, i = \overline{0, n} </tex>, где <tex> F(i) </tex> - некоторая функция.
 +
От выбора функции зависит время работы операций над деревом. Рассмотрим функцию, позволяющую делать обе операции за время <tex> O(log(n)) </tex>.
  
 
[[Файл:Bit.jpg|thumb|300px|Содержимое массива T]]
 
[[Файл:Bit.jpg|thumb|300px|Содержимое массива T]]
Строка 18: Строка 19:
 
Обозначим <tex> G_i = sum(i) = \sum\limits_{k = 0}^{i} a_k </tex>. Тогда <tex> sum(i, j) = \sum\limits_{k = i}^{j} a_k = G_j - G_{i - 1} </tex>.
 
Обозначим <tex> G_i = sum(i) = \sum\limits_{k = 0}^{i} a_k </tex>. Тогда <tex> sum(i, j) = \sum\limits_{k = i}^{j} a_k = G_j - G_{i - 1} </tex>.
  
 +
{{Утверждение
 +
|statement= <tex> a_i </tex> входит в сумму для <tex> f_k </tex>, если <tex> \exists j: k = i \vee (1 \cdots 1) j </tex>  раз.
 +
|proof=
 +
}}
 
Приведем код функции <tex> sum(i) </tex> на C++:
 
Приведем код функции <tex> sum(i) </tex> на C++:
 
  <code>
 
  <code>

Версия 07:23, 1 мая 2011

Определение:
Дерево Фе́нвика (Binary indexed tree) - структура данных, требующая [math] O(n) [/math] памяти и позволяющая эффективно (за [math] O(log n) [/math])
  1. изменять значение любого элемента в массиве;
  2. выполнять некоторую бинарную операцию [math] G [/math] на отрезке [math] [i, j] [/math].

Впервые описано Питером Фенвиком в 1994 году.

Пусть дан массив [math] A [/math] из [math] n [/math] элементов: [math] a_i, i = \overline{0, n} [/math].
Деревом Фенвика будем называть массив [math] T [/math] из [math] n [/math] элементов: [math] T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k, i = \overline{0, n} [/math], где [math] F(i) [/math] - некоторая функция. От выбора функции зависит время работы операций над деревом. Рассмотрим функцию, позволяющую делать обе операции за время [math] O(log(n)) [/math].

Содержимое массива T

Запрос изменения элемента

Запрос получения суммы на префиксе

В качестве бинарной операции [math] G [/math] рассмотрим операцию сложения.
Обозначим [math] G_i = sum(i) = \sum\limits_{k = 0}^{i} a_k [/math]. Тогда [math] sum(i, j) = \sum\limits_{k = i}^{j} a_k = G_j - G_{i - 1} [/math].

Утверждение:
[math] a_i [/math] входит в сумму для [math] f_k [/math], если [math] \exists j: k = i \vee (1 \cdots 1) j [/math] раз.

Приведем код функции [math] sum(i) [/math] на C++:


int sum(int i)
{
   int result = 0;
   while (i >= 0)
   {
       result += t[i];
       i = f(i) - 1;
   }
   return result;
}

Полезные ссылки:

Peter M. Fenwick: A new data structure for cumulative frequency
Wikipedia: Fenwick tree
e-maxx.ru: Дерево Фенвика