Дерево Фенвика для некоммутативных операций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Обновление элемента)
Строка 3: Строка 3:
 
== Обновление элемента ==
 
== Обновление элемента ==
  
Как и ранее, для обновления элемента в дереве нужно изменить все, что хранит результат операции с этим элементом. Но теперь нельзя просто применить операцию <tex> G </tex> (далее используется мультипликативная нотация) ко всем нужным элементам дерева. Пусть мы хотим изменить <tex> a_i </tex> на <tex> a_i' = a_i \cdot d </tex>, в данный момент обновляем элемент дерева с индексом <tex> j </tex>. Вместо <tex> a_{j\&(j+1)} \cdot \ldots a_i'\cdot \ldots \cdot a_j </tex> мы получим <tex> a_{j\&(j+1)} \cdot \ldots a_i \cdot \ldots \cdot a_j \cdot a_i' </tex> (так как больше нельзя переставлять элементы местами в операции на отрезке, ответ будет неверен).
+
Как и ранее, для обновления элемента в дереве нужно изменить все, что хранит результат операции с этим элементом. Но теперь нельзя просто применить операцию <tex> G </tex> (далее используется мультипликативная нотация) ко всем нужным элементам дерева. Пусть мы хотим изменить <tex> a_i </tex> на <tex> a_i' = a_i \circ d </tex>, в данный момент обновляем элемент дерева с индексом <tex> j </tex>. Вместо <tex> a_{j\&(j+1)} \circ \ldots a_i'\circ \ldots \circ a_j </tex> мы получим <tex> a_{j\&(j+1)} \circ \ldots a_i \circ \ldots \circ a_j \circ a_i' </tex> (так как больше нельзя переставлять элементы местами в операции на отрезке, ответ будет неверен).
  
Решение — нужно удалить отрезок после изменяемого элемента, изменить элемент, после чего добавить этот отрезок снова. Пусть <tex> s_i = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_i </tex> — результат выполнения операции на префиксе <tex> i </tex>, <tex> s_{i, j} = s_i^{-1} \cdot s_j </tex> — результат ее выполнения на отрезке <tex> [i; j] </tex>. Тогда элемент дерева с индексом <tex> j </tex> обновляется как <tex> f_j \leftarrow f_j \cdot s_{i, j}^{-1} \cdot d \cdot s_{i, j} </tex>.
+
Решение — нужно удалить отрезок после изменяемого элемента, изменить элемент, после чего добавить этот отрезок снова. Пусть <tex> s_i = a_1 \circ a_2 \circ \ldots \circ a_i </tex> — результат выполнения операции на префиксе <tex> i </tex>, <tex> s_{i, j} = s_i^{-1} \circ s_j </tex> — результат ее выполнения на отрезке <tex> [i; j] </tex>. Тогда элемент дерева с индексом <tex> j </tex> обновляется как <tex> f_j \leftarrow f_j \circ s_{i, j}^{-1} \circ d \circ s_{i, j} </tex>.
  
 
Может показаться, что этот способ не работает, так как <tex> s_i </tex>, возможно, уже было изменено, а <tex> s_j </tex> — еще нет, значит, мы удаляем не тот отрезок, который должны удалить. Убедимся, что на самом деле все обновляется правильно:
 
Может показаться, что этот способ не работает, так как <tex> s_i </tex>, возможно, уже было изменено, а <tex> s_j </tex> — еще нет, значит, мы удаляем не тот отрезок, который должны удалить. Убедимся, что на самом деле все обновляется правильно:
  
<tex> s_{i, j}{'} = (s_i \cdot d)^{-1} \cdot s_j = d^{-1} \cdot s_i^{-1} \cdot s_j = d^{-1} \cdot s_{i, j} </tex>;
+
<tex> s_{i, j}{'} = (s_i \circ d)^{-1} \circ s_j = d^{-1} \circ s_i^{-1} \circ s_j = d^{-1} \circ s_{i, j} </tex>;
  
<tex> s_{i, j}^{-1}{'} \cdot d \cdot s_{i, j}{'} = (d^{-1} \cdot s_{i, j})^{-1} \cdot d \cdot d^{-1} \cdot s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \cdot d \cdot d \cdot d^{-1} \cdot s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \cdot d \cdot s_{i, j} </tex>, то есть элемент дерева изменяется на правильное значение.
+
<tex> s_{i, j}^{-1}{'} \circ d \circ s_{i, j}{'} = (d^{-1} \circ s_{i, j})^{-1} \circ d \circ d^{-1} \circ s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \circ d \circ d \circ d^{-1} \circ s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \circ d \circ s_{i, j} </tex>, то есть элемент дерева изменяется на правильное значение.
  
 
Пусть в дереве <tex> n </tex> элементов. Так как для каждого из <tex> O(\log(n)) </tex> изменяемых элементов дерева мы совершаем дополнительно запрос суммы на отрезке(а он работает за <tex> O(\log(n)) </tex> операций), то асимптотическое время работы обновления элемента ухудшается до <tex> O(\log^2(n)) </tex>.
 
Пусть в дереве <tex> n </tex> элементов. Так как для каждого из <tex> O(\log(n)) </tex> изменяемых элементов дерева мы совершаем дополнительно запрос суммы на отрезке(а он работает за <tex> O(\log(n)) </tex> операций), то асимптотическое время работы обновления элемента ухудшается до <tex> O(\log^2(n)) </tex>.

Версия 16:53, 11 июня 2012

Обычное дерево Фенвика позволяет выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию [math] G [/math] на отрезке [math] [i; j] [/math] с изменением элементов. Описываемая модификация дает возможность отказаться от коммутативности [math] G [/math].

Обновление элемента

Как и ранее, для обновления элемента в дереве нужно изменить все, что хранит результат операции с этим элементом. Но теперь нельзя просто применить операцию [math] G [/math] (далее используется мультипликативная нотация) ко всем нужным элементам дерева. Пусть мы хотим изменить [math] a_i [/math] на [math] a_i' = a_i \circ d [/math], в данный момент обновляем элемент дерева с индексом [math] j [/math]. Вместо [math] a_{j\&(j+1)} \circ \ldots a_i'\circ \ldots \circ a_j [/math] мы получим [math] a_{j\&(j+1)} \circ \ldots a_i \circ \ldots \circ a_j \circ a_i' [/math] (так как больше нельзя переставлять элементы местами в операции на отрезке, ответ будет неверен).

Решение — нужно удалить отрезок после изменяемого элемента, изменить элемент, после чего добавить этот отрезок снова. Пусть [math] s_i = a_1 \circ a_2 \circ \ldots \circ a_i [/math] — результат выполнения операции на префиксе [math] i [/math], [math] s_{i, j} = s_i^{-1} \circ s_j [/math] — результат ее выполнения на отрезке [math] [i; j] [/math]. Тогда элемент дерева с индексом [math] j [/math] обновляется как [math] f_j \leftarrow f_j \circ s_{i, j}^{-1} \circ d \circ s_{i, j} [/math].

Может показаться, что этот способ не работает, так как [math] s_i [/math], возможно, уже было изменено, а [math] s_j [/math] — еще нет, значит, мы удаляем не тот отрезок, который должны удалить. Убедимся, что на самом деле все обновляется правильно:

[math] s_{i, j}{'} = (s_i \circ d)^{-1} \circ s_j = d^{-1} \circ s_i^{-1} \circ s_j = d^{-1} \circ s_{i, j} [/math];

[math] s_{i, j}^{-1}{'} \circ d \circ s_{i, j}{'} = (d^{-1} \circ s_{i, j})^{-1} \circ d \circ d^{-1} \circ s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \circ d \circ d \circ d^{-1} \circ s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \circ d \circ s_{i, j} [/math], то есть элемент дерева изменяется на правильное значение.

Пусть в дереве [math] n [/math] элементов. Так как для каждого из [math] O(\log(n)) [/math] изменяемых элементов дерева мы совершаем дополнительно запрос суммы на отрезке(а он работает за [math] O(\log(n)) [/math] операций), то асимптотическое время работы обновления элемента ухудшается до [math] O(\log^2(n)) [/math].

Выполнение запроса

Выполнение запроса делается так же, как и в обычном дереве Фенвика, с той лишь разницей, что теперь важен порядок операндов в операции [math] G [/math].