Деревья Эйлерова обхода — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Способы реализации структуры)
(Декартово дерево по неявному ключу)
 
(не показано 10 промежуточных версий 4 участников)
Строка 26: Строка 26:
 
<br>
 
<br>
  
Представим дерево в виде последовательности вершин, посещеннных в порядке эйлерова обхода, начиная с вершины <tex>a</tex>.
+
Представим дерево в виде последовательности вершин, посещенных в порядке эйлерова обхода, начиная с вершины <tex>a</tex>.
 
[[Файл:Tour1.png|thumb|320px|center]]
 
[[Файл:Tour1.png|thumb|320px|center]]
  
Строка 36: Строка 36:
 
*Выберем любое вхождение вершины <tex>c</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T1</tex>.
 
*Выберем любое вхождение вершины <tex>c</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T1</tex>.
 
*Разрежем эйлеров обход <tex>T1</tex> на две части:
 
*Разрежем эйлеров обход <tex>T1</tex> на две части:
*: <tex>A1</tex> - часть обхода до выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.
+
*: <tex>A1</tex> {{---}} часть обхода до выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.
*: <tex>A2</tex> - часть обхода после выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.
+
*: <tex>A2</tex> {{---}} часть обхода после выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.
 
*Аналогично, выберем любое вхождение вершины <tex>g</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T2</tex> и разрежем его на две части <tex>B1</tex> и <tex>B2</tex>.
 
*Аналогично, выберем любое вхождение вершины <tex>g</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T2</tex> и разрежем его на две части <tex>B1</tex> и <tex>B2</tex>.
 
*Соберем результирующий эйлеров обход в порядке <tex>A1, B2, B1</tex> (без первой повторяющейся вершины), <tex>A2</tex>.
 
*Соберем результирующий эйлеров обход в порядке <tex>A1, B2, B1</tex> (без первой повторяющейся вершины), <tex>A2</tex>.
Строка 61: Строка 61:
  
 
===Проверка на связность===
 
===Проверка на связность===
Для того, чтобы проверить, лежат ли 2 вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот элеров обход.
+
Для того, чтобы проверить, лежат ли две вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот эйлеров обход.
  
 
==Способы реализации структуры==
 
==Способы реализации структуры==
Строка 67: Строка 67:
 
===Сбалансированное дерево поиска===
 
===Сбалансированное дерево поиска===
  
Будем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например, в виде [[Красно-черное дерево|красно-черного дерева]]. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины  
+
Будем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например, в виде [[Красно-черное дерево|красно-черного дерева]]. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.
  
 
Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.109.4875&rep=rep1&type=pdf Ron Wein {{---}} Efficient Implementation of Red-Black Trees.]</ref>.
 
Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.109.4875&rep=rep1&type=pdf Ron Wein {{---}} Efficient Implementation of Red-Black Trees.]</ref>.
Строка 73: Строка 73:
 
===Декартово дерево по неявному ключу===
 
===Декартово дерево по неявному ключу===
  
Также, можем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в [[Декартово_дерево_по_неявному_ключу|декартовом дереве по неявному ключу]]. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из n вершин, будет поддерживаться logn. Операции объединения и разделения так же выполняются за log n.
+
Также, можем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в [[Декартово_дерево_по_неявному_ключу|декартовом дереве по неявному ключу]]. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из <tex>n</tex> вершин, будет поддерживаться равной <tex>O(\log n)</tex>.  
 +
 
 +
Операции объединения и разделения также выполняются за <tex>O(\log n)</tex>.
  
 
==См. также==
 
==См. также==
Строка 85: Строка 87:
 
* [http://courses.csail.mit.edu/6.851/spring07/scribe/lec05.pdf Advanced Data Structures {{---}} Euler tour trees]
 
* [http://courses.csail.mit.edu/6.851/spring07/scribe/lec05.pdf Advanced Data Structures {{---}} Euler tour trees]
 
* [http://codeforces.com/blog/entry/18369?mobile=true&locale=en CodeForces {{---}} On Euler tour trees]
 
* [http://codeforces.com/blog/entry/18369?mobile=true&locale=en CodeForces {{---}} On Euler tour trees]
 +
* [http://logic.pdmi.ras.ru/csclub/node/2819 Лекториум{{---}} Лекция Павла Маврина об эйлеровых обходах]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 
[[Категория: Эйлеровы графы]]
 
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Текущая версия на 10:27, 26 октября 2019

Задача о динамической связности[править]

Задача:
Для динамически изменяющегося дерева выполнить следующие запросы:
  • [math]\mathrm{link(u, w)}[/math] — добавить ребро [math](u, w)[/math] (при условии, что вершины [math]u[/math] и [math]w[/math] принадлежат разным деревьям),
  • [math]\mathrm{cut(u, w)}[/math] — разрезать ребро [math](u, w)[/math] (при условии, что ребро [math](u, w)[/math] принадлежит дереву),
  • [math]\mathrm{isConnected(u, w)}[/math] — определить принадлежат ли вершины [math]u[/math] и [math]w[/math] одной компоненте связности.


Для решения поставленной задачи будем представлять дерево в виде его эйлерова графа, а затем будем работать с эйлеровым обходом (англ.Euler tour tree) этого графа. Это позволит выполнять указанные запросы за [math]O(\log n)[/math].

Представление деревьев в виде эйлерова графа[править]

Пример дерева
Соответствующий эйлеров граф

Для представления дерева в виде эйлерового графа заменим каждое ребро [math]\{u, v\} \[/math] дерева на два ребра [math](u, v)[/math] и [math](v, u)[/math].

Получившийся ориентированный граф будет эйлеровым согласно критерию.







Представим дерево в виде последовательности вершин, посещенных в порядке эйлерова обхода, начиная с вершины [math]a[/math].

Tour1.png

Операции c эйлеровыми обходами[править]

Добавление ребра[править]

Для добавления ребра [math](c, g)[/math]:

  • Выберем любое вхождение вершины [math]c[/math] в эйлеров обход дерева [math]T1[/math].
  • Разрежем эйлеров обход [math]T1[/math] на две части:
    [math]A1[/math] — часть обхода до выбранного вхождения вершины [math]c[/math], включая ее.
    [math]A2[/math] — часть обхода после выбранного вхождения вершины [math]c[/math], включая ее.
  • Аналогично, выберем любое вхождение вершины [math]g[/math] в эйлеров обход дерева [math]T2[/math] и разрежем его на две части [math]B1[/math] и [math]B2[/math].
  • Соберем результирующий эйлеров обход в порядке [math]A1, B2, B1[/math] (без первой повторяющейся вершины), [math]A2[/math].

Чтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы обходы деревьев [math]T1[/math] и [math]T2[/math], будем хранить эйлеровы обходы в двоичных деревьях поиска. Ключом вершины для построения дерева поиска будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом. Для каждой вершины дерева [math](T1, T2)[/math] будем хранить указатель на вершину в дереве поиска, которая соответствует вхождению вершины дерева в эйлеров обход. Тогда за [math]O(1)[/math] переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за [math]O(\log n)[/math] можно будет разделить дерево поиска на две части.

Рис.1a Исходный лес
Рис.1b Эйлеровы обходы деревьев
Рис.1с Двоичные деревья поиска для хранения эйлеровых обходов
Рис.1d Результирующий эйлеров обход

Разрезание ребра[править]

Для удаления ребра [math](g, j)[/math]:

  • Найдем в эйлеровом обходе дерева [math]T[/math] две пары посещений концов удаляемого ребра [math]g,j[/math] и [math]j,g[/math], которые соответствуют прохождениям по ребру [math](g, j)[/math] в дереве [math]T[/math].
  • Разрежем эйлеров обход дерева по этим парам на три части: [math]A1, A2, A3[/math].
  • Соединив [math]A1[/math] и [math]A3[/math] (без повторяющейся первой вершины), получим эйлеров обход первого дерева, а [math]A2[/math] дает эйлеров обход второго дерева.

Чтобы быстро находить места в эйлеровом обходе, которые соответствуют прохождению удаляемого ребра в дереве, будем для каждого ребра в дереве хранить ссылку на те места эйлерова обхода, где последовательно посещаем концы удаляемого ребра. Так, для ребра [math](g, j)[/math] храним ссылки на узлы дерева поиска, соответствующие парам посещений концов этого ребра.

Рис.1a Исходное дерево
Рис.1b Эйлеров обход исходного дерева
Рис.1с Двоичное дерево поиска для хранения эйлерового обхода
Рис.1d Эйлеровы обходы получившихся деревьев

Проверка на связность[править]

Для того, чтобы проверить, лежат ли две вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот эйлеров обход.

Способы реализации структуры[править]

Сбалансированное дерево поиска[править]

Будем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например, в виде красно-черного дерева. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.

Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за [math]O(\log n)[/math][1].

Декартово дерево по неявному ключу[править]

Также, можем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в декартовом дереве по неявному ключу. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из [math]n[/math] вершин, будет поддерживаться равной [math]O(\log n)[/math].

Операции объединения и разделения также выполняются за [math]O(\log n)[/math].

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]