Изменения

{{Определение|definition='''Динамическое программирование по профилю''' <tex>(англ. ''dynamic programming with profile'') {{---</tex> }} способ оптимизации перебора количества вариантов с помощью [[Динамическое программирование|динамического программирования]], когда одно из измерений не большоенебольшое.}}{{Определение|definition='''Профиль''' (англ. ''profile'') {{---}} один из столбцов (строк), удовлетворяющий условию задачи. Обычно используется в качестве состояния динамики.}} == Общие принципы ==Обычно дана таблица и надо посчитать количество замощений этой таблицы некоторыми фигурами (замощение шахматной доски доминошками). Можно перебрать все варианты и выбрать из них удовлетворяющие условию. Но можно воспользоваться методом динамического программирования по профилю и сократить время по одной размерности до линейной. Затем пусть у нас есть правило по которому надо заполнить и для него нам надо <tex>k</tex> предыдущих линий. Тогда можно перебрать все замощения длиной <tex>k\times n</tex>. В итоге нужно заполнить данную таблицу этими замощениями. Получается, что если перебирать все варианты нам понадобится <tex>O(a^{nm})</tex> времени, а если перебирать только состояния и переходить по ним нам потребуется <tex>O(a^{kn}m)</tex> времени (где <tex>a</tex> {{---}} количество способов замощения одной клетки). 

Найти количество способов замощении таблицы <tex>n\times m</tex> с помощью домино размерами <tex>[[Файл:Домино.png|270px|thumb|right|Переходы (1\times -правильный переход, 2,2\times 1</tex>.3-неправильные)]]

'''Решение:'''Для удобства можно хранить профили в виде двоичных масок.В качестве состояния динамики будем использовать профиля профили размерами <tex>n</tex>. В этом профиле <tex>1 </tex> будет означать, что домино лежит горизонтально и заканчивается на этом столбце, иначе <tex>0</tex>. Таких профилей будет <tex>2^n</tex>.

Из профиля <tex>i </tex> в профиль <tex>j </tex> можно перейти если выполняются условия:

* Можно положить горизонтальные домино. То есть там где в <tex>j </tex> профиле стоит <tex>1</tex>, в <tex>i </tex> профиле должен стоять <tex>0</tex>.

* Можно доложить в оставшиеся клетки вертикальные домино. То есть оставшиеся <tex>0 </tex> в <tex>i </tex> профиле должны образовывать четные подстроки.

Пусть <tex>d[i][j] = 1</tex> если из профиля <tex>i </tex> можно перейти в <tex>j</tex>-ый, иначе <tex>0</tex>.

Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{- --}} количество способов замощения первые первых <tex>k-1 </tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i </tex>-ом профиле.

Ответом будет <tex> \sum a[m][i]</tex>, где <tex>i : </tex> {{---}} профиль, который может быть последним (т.е. все группы из <tex>0 </tex> имеют четные размеры).

Для удобства ==='''Реализация'''=== <font color=green>// n, m {{---}} размер таблицы </font> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if''' можно хранить перейти из <tex>\mathtt{i}</tex> в <tex>\mathtt{j}</tex> профиль <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{1}</tex> '''else''' <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{0}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{0}][\mathtt{0}] = \mathtt{1}</tex> <font color=green>// Так как мы можем начать только с профиля в виде двоичных масок где все клетки 0 </font> '''for''' <tex>k = \mathtt{1}..\mathtt{m} - \mathtt{1} </tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] + \mathtt{a}[\mathtt{k} - \mathtt{1}][\mathtt{j}] \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}]</tex> <tex>\mathtt{ans} = \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} \lt \lt \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if''' можно закончить <tex>\mathtt{i}</tex> профилем <tex>\mathtt{ans} = \mathtt{ans} + \mathtt{a}[\mathtt{m} - \mathtt{1}][\mathtt{i}]</tex> '''return''' <tex>\mathtt{ans}</tex>

'''РеализацияОценка сложности: '''подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}m)</tex>.

//n, m размеры таблицы ''' Оценка памяти: ''' for i = 0..<tex>O(1<<n2^{2n} + 2^{2n}m)-1 for j = 0..(1<<n)-1 if /tex>, так же можно перейти из i заметить что в j профиль d[i][j] = 1; else d[i][j] = 0; массиве <tex>a[0][0] = 1; </tex> для <tex>k</Так как мы можем начать tex> состояния нам нужно только с профиля где все клетки 0 for <tex>k = 1..m-1 for i = 0..(1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <ntex>O(2^{2n})-1 for j = 0.</tex>.Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2^{n + 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <ntex>2^{2n}mf(i,j)-1 a[k][</tex>, где <tex>f(i] += a[k-1][,j] * d[)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j][i]; ans = 0; for i = 0..(1</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}mn)-1 if можно закончить i профилем ans += a[m-1][i]; return ans;</tex>.

== ''' Оценка сложности : Задача о симпатичных узорах''' ====='''Условие'''===подсчет Дана таблица <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}n\times m</tex> , каждая клетка которой может быть окрашена в итоге один из двухцветов: белый или черный. Симпатичным узором называется такая раскраска, прикоторой не существует квадрата <tex>O(2^{2n}\times m)2</tex>, в котором все клетки одного цвета. Требуется найти количество симпатичных узоров для соответствующей таблицы.

''' Оценка памяти [[Файл: '''<tex>O(2^{2n}+2^{2n}\times m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для k состояния нам нужно только k-1 состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив d, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2\times 2^n)</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}\times m\times f(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из i в j, обычно проверка равна n и тогда время получается <tex>O(2^{2n}\times m\times n)</tex>Симпатичне узоры.png|240px|thumb|right|]]

Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{---}} количество способов раскрашивания первые <tex>k-1</tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i</tex>-ом профиле.Тогда <tex>a[k][i]=\displaystyle \sum_{j= 0}^{2^n -1} a[k-1][j]\cdot d[j][i]</tex> Ответом будет <tex> \displaystyle \sum_{i=0}^{2^n -1} a[m][i]</tex> ==='''Реализация'''=== <font color=green>// n, m {{---}} размер таблицы </font> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if''' можно перейти из <tex>\mathtt{i}</tex> в <tex>\mathtt{j}</tex> профиль <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{1}</tex> '''else''' <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[0][\mathtt{i}]\ = \mathtt{1}</tex> <font color=green >// Так как мы можем начать c любого профиля</font> '''for''' <tex>\mathtt{k} = \mathtt{1}.. \mathtt{m} - \mathtt{1} </tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] + \mathtt{a}[\mathtt{k} - 1][\mathtt{j}] \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}]</tex> <tex>\mathtt{ans} = \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{ans} = \mathtt{ans} + \mathtt{a}[\mathtt{m} - \mathtt{1}][\mathtt{i}]</tex> <font color=green>// Так как мы можем закончить любым профилем </font> '''return''' <tex>\mathtt{ans}</tex> ''' Оценка сложности: '''подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}m)</tex>. ''' Оценка памяти: '''<tex>O(2^{2n}+2^{2n}m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k-1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2^{n + 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}mf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}mn)</tex>. == Динамика по изломанному профилю == {{Определение|definition='''Изломанный профиль''' (англ. 'Задача о симпатичных узорах'broken profile'' ) {{---}} обобщение прямого профиля на случай, когда обработанным является не целое число столбцов, а некоторое количество столбцов и несколько первых клеток следующего столбца.}} Это очень сильная оптимизация динамики по профилю. Идея в том, чтобы добиться как можно меньшего числа переходов (от одного профиля к другому). ===Пример ===Еще раз используем в качестве примера задачу о замощении. Базовая линия теперь будет ломаной: при прохождении через <tex>i</tex>-ю вертикаль сверху вниз, она переходит на предыдущую вертикаль и спускается до низу. Теперь профиль — это не только маска, но ещё и место излома.[[Файл:img34.gif|300px|thumb|right|]]Профилем будет пара <tex>(p, i)</tex>, в <tex>p</tex> будет информация о <tex>n + 1</tex> маленьком квадратике слева от базовой линии, имеющем с ней общие точки; <tex>i</tex> обозначает номер горизонтали, на которой произошел излом. Квадратики профиля будут нумероваться сверху вниз, так что угловой будет иметь номер <tex>i + 1</tex>. Горизонтали будем нумеровать с нуля, так что <tex>i</tex> пробегает значения от <tex>0</tex> до <tex>n - 1</tex>.

Дана таблица Пусть <tex>n\times md[pr_1][pr_2] = 1</tex>если из профиля <tex>pr_1</tex> = <tex>(p_1, каждая клетка которой может быть окрашена i_1)</tex> можно перейти в один из двухцветов: белый или черный. Симпатичным узором называется такая раскраска<tex>pr_2 = (p_2, i_2)</tex>, прикоторой не существует квадрата иначе <tex>2\times 20</tex>, в котором все клетки одного цвета. Требуется найти количество симпатичных узоров для соответствующей таблицы.

'''Решение:'''В качестве состояния динамики будем использовать профиль размеров * Eсли <tex>i < n. В этом профиле - 1 будет означать что клетка закрашена в черный цвет</tex>, и 0 если в белый.Из профиля i в j-ый можно перейти если выполнено условие:* если поставить i и j профиль рядомто <tex>i_1 + 1 = i_2</tex>, то не должно быть квадратов иначе <tex>2\times 2i_2 = 0 </tex> одного цвета;

Пусть * Mожно так положить доминошку, накрывающую квадратик с номером <tex>d[i][j] = + 1</tex>, что после этого в <tex>p_2</tex> будет храниться в точности информация о соответствующих квадратиках.Проще говоря, доминошку можно класть только двумя способами {{---}} как показано на рисунках (на квадратик с номером <tex>i + 1</tex> можно положить не более одной вертикальной и горизонтальной доминошки). То, что потом получается после сдвига вниз излома, и будет новым профилем. Заметим, что если из профиля клетка <tex>i можно перейти + 1</tex> занята, то доминошку уже не надо класть, и <tex>(p, i)</tex> логично отождествить с <tex>(p, i + 1)</tex>. Условно пишется {{---}} "<tex>i + 1</tex>", однако, нужно всегда иметь в jвиду возможность <tex>i = n -ый, иначе 01</tex>.

Пусть так же Легко заметить, что количество профилей увеличилось в <tex>a[k][i]2n</tex> - количество способов раскрашивания первые k-раз (добавилось число от <tex>1 столбцов </tex> до <tex>n</tex> и заканчивавшийся на i профилееще один бит).Тогда Но зато количество переходов резко сократилось с <tex>a[k][i]=\displaystyle \sum_{j=0}^{2^n -1} a[k-1][j]\cdot d[j][i]</tex>до <tex>2</tex>.

Ответом будет <font color=green>//Для профиля (p, i) выводятся все переходы из него (нумерация горизонталей начинается с нуля и i = 0..n - 1)</font> <font color=green>// Функция bit(x,i), возвращающая единицу или ноль или i-й бит в двоичной записи числа x</font> '''print_all_links'''(<tex>\mathtt{p}</tex>, <tex>\mathtt{i}</tex>): '''if''' <tex> \displaystyle mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \sum_mathtt{j1}}) == \mathtt{0}^</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> '''println'''<tex>((\mathtt{p} - (\mathtt{2^} << \ \mathtt{i})) << \ \mathtt{1}</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex> '''else''' '''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p}, \mathtt{i}) == \mathtt{0}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1} </tex> '''println'''<tex>((\mathtt{p} << \ \mathtt{1})</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{1} << \ \mathtt{n})</tex>, " ", <tex>(\mathtt{i} + \mathtt{1}) % \mathtt{n })</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} < \mathtt{n} -\mathtt{1} a[m][</tex> && <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{2}}) == \mathtt{0}</tex> '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{4} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i]} + \mathtt{1})</tex>[[Файл:ok.jpg|640px|thumb|left|Возможные переходы]]

Для удобства можно хранить профиля При такой реализации существует немало профилей только с одним переходом (например, у которых <tex>(i + 1)</tex>-й бит равен единице).Отождествим все профили с один переходом с теми, кто их них получается. Это будет выглядеть так: пусть <tex>pr_2</tex> (и только он) получается из <tex>pr_1</tex>, который, в виде двоичных масок свою очередь, получается из <tex>pr_0</tex>. Тогда имеются такие соотношения: <tex>d[pr_0, pr_1] = 1</tex>, <tex>d[pr_1, pr_2] = 1</tex>. Отождествить <tex>pr_1</tex> и <tex>pr_2</tex> {{---}} это, по сути, заменить эти два соотношение на одно, то есть теперь <tex>d[pr_0, pr_1] = 0</tex> и <tex>d[pr_1, pr_2] = 0</tex>, но <tex>d[pr_0, pr_2] = 1</tex>, и так далее.

'''Реализация:''' //nТаким образом, m размеры таблицы for i = 0..(1<<n)-1 for j = 0.возможно сокращение профилей не менее чем вдвое.(1<<n)-1 if Хотя можно перейти из i в j профиль d[i][j] = 1; else d[i][j] = 0; for i = 0.совершить дальнейшие оптимизации.(1<<n)-1 a[i][0] = 1; //Так как мы можем начать c любого профиля for k = 1..m-1 for i = 0..В итоге асимптотика составляет <tex>O(1<<n2^nnm)-1 for j = 0..(1<<n)-1 a[k][i] += a[k-1][j] * d[j][i]; ans = 0; for i = 0/tex>.Это доказывает, что данный метод значительно лучше простого способа подсчёта динамики.(1<<n)-1 ans += a[m-1][i]//Так как мы можем закончить любым профилем return ans;

''' Оценка памяти == Источники информации ==*[http: '''<tex>O(2^{2n}+2^{2n}\times m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для k состояния нам нужно только k-1 состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})<informatics.mccme.ru/moodle/tex>file. Еще можно не считать массив d, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2\times 2^n)<php/tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}\times m\times f(i,j)<9/tex>, где <tex>f(i,j)<dyn_prof.pdf Динамическое программирование по профилю]*[http:/tex> время проверки возможности перехода из i в j, обычно проверка равна n и тогда время получается <tex>O(2^{2n}\times m\times n)</tex>informatics.mccme.ru/mod/book/view.php?id=290&chapterid=78 Динамическое программирование по изломанному профилю][[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Динамическое программирование]]