Дискретная случайная величина

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Случайная величина (англ. random variable) — отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}[/math]


Дискретная случайная величина

Определение:
Дискретной случайной величиной (англ. discrete random variable) называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.


Примеры

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

  1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
  2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
  3. Количество выученных билетов, число звонков, поступавших на телефонную станцию в течение месяца. Принимаемые значения также [math]0 \ldots n[/math]
  4. Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\{1,2,3,4,5,6\}[/math]
  5. Сумма выигрыша в лотерее, если выпущено [math]1000[/math] лотерейных билетов: на [math]5[/math] из них выпадает выигрыш в сумме [math]500[/math] рублей, на [math]10[/math][math]100[/math] рублей, на [math]20[/math][math]50[/math] рублей, и на [math]50[/math][math]10[/math] рублей. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\{0, 10, 50, 100, 500\}[/math]

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:
Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi \lt x)[/math], т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение, меньшее чем [math]x[/math]


Свойства функции распределения:

  • [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]
  • [math]F(x)[/math] непрерывна слева [math]\forall x \in \mathbb{R};[/math]
  • [math]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1[/math].

Функция плотности вероятности

Определение:
Функция плотности вероятности (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как первая производная функции распределения.
[math]f(x) = F'(x)[/math]


Свойства функции плотности вероятности:

  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
[math]\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1[/math].
  • Плотность вероятности определена почти всюду.
Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.

См. также

Источники информации