Просмотр исходного текста страницы Дискретное логарифмирование в группе

{{Требует доработки
|item1= Зачем нужен алгоритм с временем работы <tex>O(|G| log |G|)</tex>, если можно просто перебрать все степени за <tex>O(|G|)</tex> (исправлено)?
}}

Рассмотрим конечную группу <tex>G</tex>. Для заданного <tex>a</tex> необходимо найти такое минимальное <tex>n</tex>, что <tex>a^n=e</tex>. <br>
Теперь рассмотрим '''обобщенную задачу поиска порядка''', также называемую '''задачей дискретного логарифмирования''': для заданных <tex>a</tex> и <tex>b</tex> из группы найти такое минимальное <tex>n</tex>, что <tex>a ^ n = b</tex>. <br>
Очевидно, <tex>n < |G| </tex> (следует из принципа Дирихле). Пусть <tex>m = \lceil \sqrt{|G|} \rceil</tex>. Будем искать <tex>n</tex> в виде <tex>xm-y</tex>, где <tex>y \in 0 \dots m - 1</tex> и <tex>x \in 1 \dots m</tex> (такое представление существует и единственно на основании существования и единственности деления с остатком).<br>
<tex>a ^ n = a ^ {xm - y} = b</tex> <br>
<tex>a ^ {xm} = b a ^ {y}</tex> <br>
<tex> {a ^ m} ^ x = b a ^ y </tex> <br>

Далее мы выписываем все полученные выражения для левой и правой частей при всех допустимых <tex>x</tex> и <tex>y</tex> (или складываем в удобную структуру данных: отсортированный массив, хеш, дерево и т. д.). После чего ищем пересечение. Для каждого элемента одной части поиск в структуре данных для другой части (в случае с отсортированным массивом) занимает время <tex>O(log m)</tex>. Учитывая, что время на предварительную обработку <tex>O(m)</tex>, общее время работы алгоритма − <tex>O(m log m) = O(\sqrt{|G|} log \sqrt{|G|})</tex>.

[[Категория: Теория групп]]