Редактирование: Дискретное логарифмирование в группе
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | {{Требует доработки | |
| − | + | |item1= Зачем нужен алгоритм с временем работы <tex>O(|G| log |G|)</tex>, если можно просто перебрать все степени за <tex>O(|G|)</tex> (исправлено)? | |
| + | }} | ||
| − | == | + | Рассмотрим конечную группу <tex>G</tex>. Для заданного <tex>a</tex> необходимо найти такое минимальное <tex>n</tex>, что <tex>a^n=e</tex>. <br> |
| − | Очевидно, <tex>n < |G| </tex> (следует из принципа Дирихле). Пусть <tex>m = \lceil \sqrt{|G|} \rceil</tex>. Будем искать <tex>n</tex> в виде <tex>xm-y</tex>, где <tex>y \in 0 \dots m - 1</tex> и <tex>x \in 1 \dots m</tex> (такое представление существует и единственно на основании существования и единственности деления с остатком). | + | Теперь рассмотрим '''обобщенную задачу поиска порядка''', также называемую '''задачей дискретного логарифмирования''': для заданных <tex>a</tex> и <tex>b</tex> из группы найти такое минимальное <tex>n</tex>, что <tex>a ^ n = b</tex>. <br> |
| − | + | Очевидно, <tex>n < |G| </tex> (следует из принципа Дирихле). Пусть <tex>m = \lceil \sqrt{|G|} \rceil</tex>. Будем искать <tex>n</tex> в виде <tex>xm-y</tex>, где <tex>y \in 0 \dots m - 1</tex> и <tex>x \in 1 \dots m</tex> (такое представление существует и единственно на основании существования и единственности деления с остатком).<br> | |
| + | <tex>a ^ n = a ^ {xm - y} = b</tex> <br> | ||
| + | <tex>a ^ {xm} = b a ^ {y}</tex> <br> | ||
| + | <tex> {a ^ m} ^ x = b a ^ y </tex> <br> | ||
| − | Далее мы выписываем все полученные выражения для левой и правой частей при всех допустимых <tex>x</tex> и <tex>y</tex> (или складываем в удобную структуру данных: отсортированный массив, хеш, дерево и т. д.). После чего ищем пересечение. | + | Далее мы выписываем все полученные выражения для левой и правой частей при всех допустимых <tex>x</tex> и <tex>y</tex> (или складываем в удобную структуру данных: отсортированный массив, хеш, дерево и т. д.). После чего ищем пересечение. Для каждого элемента одной части поиск в структуре данных для другой части (в случае с отсортированным массивом) занимает время <tex>O(log m)</tex>. Учитывая, что время на предварительную обработку <tex>O(m)</tex>, общее время работы алгоритма − <tex>O(m log m) = O(\sqrt{|G|} log \sqrt{|G|})</tex>. |
| − | |||
| − | |||
| − | Для каждого элемента одной части поиск в структуре данных для другой части (в случае с отсортированным массивом) занимает время <tex>O( | ||
[[Категория: Теория групп]] | [[Категория: Теория групп]] | ||
