Дискретное логарифмирование в группе

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Постановка задачи

Рассмотрим конечную группу [math]G[/math]. Для заданных [math]a, b \in G[/math] необходимо найти такое минимальное [math]n[/math], что [math]a^n=b[/math] или сказать, что таких нет.

Алгоритм

Очевидно, [math]n \lt |G| [/math] (следует из принципа Дирихле). Пусть [math]m = \lceil \sqrt{|G|} \rceil[/math]. Будем искать [math]n[/math] в виде [math]xm-y[/math], где [math]y \in 0 \dots m - 1[/math] и [math]x \in 1 \dots m[/math] (такое представление существует и единственно на основании существования и единственности деления с остатком). Таким образом [math]a ^ n = a ^ {xm - y} = b[/math]. Следовательно,

[math]{a^m}^x = b a^y[/math]

Далее мы выписываем все полученные выражения для левой и правой частей при всех допустимых [math]x[/math] и [math]y[/math] (или складываем в удобную структуру данных: отсортированный массив, хеш, дерево и т. д.). После чего ищем пересечение.

Время работы алгоритма

Для каждого элемента одной части поиск в структуре данных для другой части (в случае с отсортированным массивом) занимает время [math]O(\log m)[/math]. Учитывая, что время на предварительную обработку [math]O(m)[/math], общее время работы алгоритма — [math]O(m \log m) = O(\sqrt{|G|} \log \sqrt{|G|})[/math].