Дискретное логарифмирование в группе — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
== Постановка задачи ==
 
== Постановка задачи ==
 
Рассмотрим [[конечная группа|конечную группу]] <tex>G</tex>. Для заданных <tex>a, b \in G</tex> необходимо найти такое минимальное <tex>n</tex>, что <tex>a^n=b</tex> или сказать, что таких нет.
 
Рассмотрим [[конечная группа|конечную группу]] <tex>G</tex>. Для заданных <tex>a, b \in G</tex> необходимо найти такое минимальное <tex>n</tex>, что <tex>a^n=b</tex> или сказать, что таких нет.

Текущая версия на 19:06, 4 сентября 2022

Постановка задачи

Рассмотрим конечную группу [math]G[/math]. Для заданных [math]a, b \in G[/math] необходимо найти такое минимальное [math]n[/math], что [math]a^n=b[/math] или сказать, что таких нет.

Алгоритм

Очевидно, [math]n \lt |G| [/math] (следует из принципа Дирихле). Пусть [math]m = \lceil \sqrt{|G|} \rceil[/math]. Будем искать [math]n[/math] в виде [math]xm-y[/math], где [math]y \in 0 \dots m - 1[/math] и [math]x \in 1 \dots m[/math] (такое представление существует и единственно на основании существования и единственности деления с остатком). Таким образом [math]a ^ n = a ^ {xm - y} = b[/math]. Следовательно,

[math]{a^m}^x = b a^y[/math]

Далее мы выписываем все полученные выражения для левой и правой частей при всех допустимых [math]x[/math] и [math]y[/math] (или складываем в удобную структуру данных: отсортированный массив, хеш, дерево и т. д.). После чего ищем пересечение.

Время работы алгоритма

Для каждого элемента одной части поиск в структуре данных для другой части (в случае с отсортированным массивом) занимает время [math]O(\log m)[/math]. Учитывая, что время на предварительную обработку [math]O(m)[/math], общее время работы алгоритма — [math]O(m \log m) = O(\sqrt{|G|} \log \sqrt{|G|})[/math].