Дисперсия случайной величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 4: Строка 4:
 
== Определение ==
 
== Определение ==
  
Пусть <tex>\displaystyle X</tex> — случайная величина, определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда
+
Пусть <tex>\displaystyle X</tex> — [[случайная величина]], определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда
 
: <tex>D[X] = \mathbb{E}\left[(X -\mathbb{E}[X])^2\right] </tex>
 
: <tex>D[X] = \mathbb{E}\left[(X -\mathbb{E}[X])^2\right] </tex>
  
Строка 16: Строка 16:
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==
  
* Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: <tex>D[X] \geqslant 0;</tex>
+
* Дисперсия любой [[случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D[X] \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
+
* Если дисперсия [[случайная величина|случайной величины]] конечна, то конечно и её математическое ожидание;
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[X]=0,</tex> то <tex>X =\mathbb{E}[X]</tex> почти всюду;
+
* Если [[случайная величина]] равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[X]=0,</tex> то <tex>X =\mathbb{E}[X]</tex> почти всюду;
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
+
* Дисперсия суммы двух [[случайная величина|случайных величин]] равна:
 
*: <tex>\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{Cov}(X, Y)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(X, Y)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
 
*: <tex>\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{Cov}(X, Y)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(X, Y)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
 
* <tex>D\left[aX\right] = a^2D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[aX\right] = a^2D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[-X\right] = D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[-X\right] = D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[X+b\right] = D[X].</tex>
 
* <tex>D\left[X+b\right] = D[X].</tex>

Версия 15:10, 24 декабря 2010

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается [math]D[X][/math] в русской литературе и [math]\operatorname{Var}\,X[/math] в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный [math]\displaystyle \sigma[/math], называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle X[/math] — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

[math]D[X] = \mathbb{E}\left[(X -\mathbb{E}[X])^2\right] [/math]

где символ [math]\mathbb{E}[/math] обозначает математическое ожидание.

Замечания

Свойства

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D[X] \geqslant 0;[/math]
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]D[a] = 0.[/math] Верно и обратное: если [math]D[X]=0,[/math] то [math]X =\mathbb{E}[X][/math] почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    [math]\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{Cov}(X, Y)[/math], где [math]\! \text{Cov}(X, Y)[/math] — их ковариация;
  • [math]D\left[aX\right] = a^2D[X];[/math]
  • [math]D\left[-X\right] = D[X];[/math]
  • [math]D\left[X+b\right] = D[X].[/math]