Дифференциальные уравнения высших порядков — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Задача Коши для ДУ высших порядков)
Строка 28: Строка 28:
 
\end{matrix}\right.</tex><br>
 
\end{matrix}\right.</tex><br>
 
2)<tex>y = \phi(x, C_1, \dots, C_n)</tex> {{---}} решение уравнения (2) для любого набора констант <tex>C_1, \dots, C_n</tex>.}}
 
2)<tex>y = \phi(x, C_1, \dots, C_n)</tex> {{---}} решение уравнения (2) для любого набора констант <tex>C_1, \dots, C_n</tex>.}}
 +
==Специальные типы ДУ высших порядков==

Версия 02:09, 30 ноября 2015

Задача Коши для ДУ высших порядков

Определение:
[math]F(x, y, y', \dots, y^{(n)})\:\:(1) - [/math] ДУ порядка n


Определение:
Задача отыскания решения ДУ (1), удовлетворяющего услювию [math]y(x_{0}) = y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, \:\dots\:, y^{(n - 1)}(x_{0}) = y_{0}^{(n - 1)}[/math], где [math]y_{0}, y'_{0}, \dots, y_{0}^{(n- 1)} \in \mathbb{R}[/math]


Теорема (Пикар):
Пусть ДУ разрешено относительно производной n-ного порядка т.е. [math]y^{(n)}= f(x, y, y', \dots, y^{(n - 1)})[/math], f - непрерывна в некоторой окрестности начальных условий V и [math]\frac{\partial f}{\partial y^{(j)}} \in C(V)[/math]
тогда существует единственное решение задачи Коши


Определение:
Функция [math]y = \phi(x, y, C_1, \dots , C_n)[/math] является общим решением, если:

1) Система разрешима относительно производных т.е. [math]\:\:\left\{\begin{matrix} y =\phi (x, C_1, \dots, C_n) \\ y' =\phi' (x, C_1, \dots, C_n) \\ \dots \\ y^{(n - 1)} =\phi^{(n - 1)} (x, C_1, \dots, C_n) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} C_1 =\psi_1 (x, y', \dots, y^{(n - 1)}) \\ C_2 =\psi_2 (x, y', \dots, y^{(n - 1)}) \\ \dots \\ C_n =\psi_n (x, y', \dots, y^{(n - 1)}) \end{matrix}\right.[/math]

2)[math]y = \phi(x, C_1, \dots, C_n)[/math] — решение уравнения (2) для любого набора констант [math]C_1, \dots, C_n[/math].

Специальные типы ДУ высших порядков