Дифференциал и производная — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (добавлена категория)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 14 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
== Определение ==
  
Эту статью требуется как следует вычитать, так как во время её написания я всем своим нутром чуял, что
+
Пусть [[Отображения|функция]] <tex>f</tex> определена в некоторой окрестности точки <tex>x</tex>.  
пишу какой-то бред, однако не осознавая, где он, и не имел достаточного знания математического анализа
 
для его моментального исправления.
 
 
 
 
 
== Определение дифференциала и производной ==
 
 
 
Пусть функция <tex>f</tex> определена в некоторой окрестности точки <tex>x</tex>.  
 
 
Тогда обозначим <tex>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</tex>.
 
Тогда обозначим <tex>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</tex>.
  
Очевидно тогда, что <tex>\lim\limits_{\Delta n \to 0} \Delta y = 0</tex>.
+
Очевидно тогда, что <tex>\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0</tex>.
  
 
С целью более подробного изучения <tex>\Delta y</tex> она линеаризуется по <tex>x</tex>. Отсюда возникает  
 
С целью более подробного изучения <tex>\Delta y</tex> она линеаризуется по <tex>x</tex>. Отсюда возникает  
Строка 18: Строка 11:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>f</tex> дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где  
+
<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где  
<tex>o(\Delta x)</tex> &mdash;  такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>x \to 0</tex>.
+
<tex>o(\Delta x)</tex> {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.
Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют дифференциалом в точке <tex>x</tex>.
+
Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом''' в точке <tex>x</tex>.
 
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
 
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
 
}}
 
}}
Строка 26: Строка 19:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) \Delta x</tex>.
+
Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x)</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,  
 
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,  
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> &mdash; бесконечно малая.
+
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> {{---}} бесконечно малая.
 
}}
 
}}
  
Строка 38: Строка 31:
  
 
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной  
 
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной  
переменной дифференцируемость равносильна существованию производной(<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).  
+
переменной дифференцируемость равносильна существованию производной (<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).  
 
Однако, это верно только для функций одной переменной.
 
Однако, это верно только для функций одной переменной.
  
 
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное  
 
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное  
может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной,  
+
может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.
значит, она не дифференцируема.
 
  
 
== Стандартные арифметические свойства производной ==
 
== Стандартные арифметические свойства производной ==
Строка 69: Строка 61:
 
== Дифференцируемость сложной функции ==  
 
== Дифференцируемость сложной функции ==  
  
Основное значение имеет правило дифференцирование сложной функции:
+
Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции.
<tex>\Delta y = \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0</tex>.
 
  
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет подставлять <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что
+
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет доопределить по непрерывности <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что
 
<tex>
 
<tex>
 
o(\Delta x) = \left\{
 
o(\Delta x) = \left\{
Строка 80: Строка 71:
 
\end{aligned}\right.
 
\end{aligned}\right.
 
</tex>.
 
</tex>.
Это мотивировано непрерывностью в точке функции в точке <tex>x</tex>.
+
Это мотивировано непрерывностью функции в точке <tex>x</tex>.
 
 
(это что?)
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ 0 < |\Delta x| < \varepsilon \Rightarrow
 
\left|\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right| \leq \iff
 
|o(\Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|
 
</tex>
 
Здесь и далее будем считать, что <tex>o(0) = 0</tex>.
 
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 95: Строка 79:
 
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
 
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим <tex>\Delta y = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0) + o(\Delta y)</tex>.
+
По определению дифференциала
<tex>f(x + x_0) - f(x_0) = f(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>
+
<tex>\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)</tex> и
 +
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>
  
<tex>g</tex> определена в окрестности <tex>y_0</tex>. Так как <tex>df \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, то
+
<tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>\Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, то
при <tex>\Delta x \to 0 f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.  
+
при <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.  
  
<tex>z = ??????, x = x_0 + \Delta x</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> корректно определено.
+
Тогда функция <tex>z = g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определена.
  
 
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
 
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
  
<tex>y_0 = f(x_0)</tex>
+
<tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex>
 +
<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>
 +
(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)
 +
<tex>g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>
 +
(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)
 +
<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
  
<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>
+
Итого получаем:
<tex>g'(y_0) \cdot f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
+
<tex>\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
  
<tex>\Rightarrow g'(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x +
+
Устремляя <tex>\Delta x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>
g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y) \Rightarrow dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>
 
  
<tex>z' = g'(y_0) f'(x_0)</tex>
+
Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>.
  
Для доказательства теоремы осталось доказать тот факт, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>:
+
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>
 +
|proof=
 +
По определению <tex>o(\Delta y)</tex>, получаем:
 +
<tex>\forall \varepsilon > 0 \  \exists \delta > 0 : \ |\Delta y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon</tex>
 +
 
 +
Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex>
 +
 
 +
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) </tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>.
  
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \, |\Delta y| < \delta \Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y|</tex>
+
Из всего этого следует, что при <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>\Delta y \to 0</tex> для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>.
  
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) =  
+
Так как <tex>f(x)</tex> &mdash; непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta
(f'(x_0) + o(1))\Delta x<tex>, где </tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex>, так как это
+
\Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|
бесконечно малая функция.
+
</tex>.
  
Тогда <tex>y_0 \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.
+
Тогда получаем, что
Для имеющегося <tex>\delta > 0</tex> подберем
+
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow
<tex>\delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta \Rightarrow
+
o(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x)
|o(\Delta y)| < \varepsilon |o(\Delta x)| =(?) \varepsilon |f'(x_0) + o(1)|\Delta x</tex>
+
</tex>, где <tex>M = |f'(x_0) + o(1)|</tex>.
 +
}}
  
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1, o(\Delta y) \leq M\varepsilon |\delta x| \Rightarrow
 
o(\Delta y) = o(\Delta x)
 
</tex>
 
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Определение

Пусть функция [math]f[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]x[/math]. Тогда обозначим [math]\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)[/math].

Очевидно тогда, что [math]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0[/math].

С целью более подробного изучения [math]\Delta y[/math] она линеаризуется по [math]x[/math]. Отсюда возникает понятие дифференциала.


Определение:
[math]f[/math]дифференцируема в точке [math]x[/math], если [math]\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)[/math], где

[math]o(\Delta x)[/math] — такая величина, что [math]\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0[/math] при [math]\Delta x \to 0[/math]. Тогда [math]A(x)\Delta x[/math] называют дифференциалом в точке [math]x[/math].

Также обозначают [math]A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy[/math].


Утверждение:
Функция дифференцируема [math]\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x)[/math].
[math]\triangleright[/math]

Если функция дифференцируема, то [math]\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math],

где [math]\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math] — бесконечно малая.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]


Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной ([math]dy = f'(x)\Delta x[/math]). Однако, это верно только для функций одной переменной.

Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное может быть неверно. Например, функция [math]y = |x|[/math] в точке [math]x = 0[/math]. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.

Стандартные арифметические свойства производной

  1. [math](f + g)' = f' + g'[/math]
  2. [math](fg)' = f'g + g'f[/math]
  3. [math]\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}[/math]


Докажем, например, второе свойство.

Утверждение:
[math](fg)' = f'g + g'f[/math]
[math]\triangleright[/math]
[math]\Delta(fg) = (f + \Delta f)(g + \Delta g) - fg = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f \Delta g \\ (fg)' = \frac{\Delta(fg)}{\Delta x} = \frac{\Delta fg}{\Delta x} + \frac{f \Delta g}{\Delta x} + \frac{\Delta f \Delta g}{\Delta x} = f'g + g'f [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Дифференцируемость сложной функции

Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции.

То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет доопределить по непрерывности [math]\Delta x = 0[/math] и считать, что [math] o(\Delta x) = \left\{ \begin{aligned} 0 & ,{\,} \Delta x = 0\\ o(\Delta x) & ,{\,} \Delta x \ne 0\\ \end{aligned}\right. [/math]. Это мотивировано непрерывностью функции в точке [math]x[/math].

Теорема (Дифференцирование сложной функции):
Пусть [math]y = f(x)[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math], [math]y_0 = f(x_0)[/math]. Пусть [math]z = g(y)[/math] дифференцируема в [math]y_0[/math]. Тогда в некоторой окрестности [math]x_0[/math] корректно определена сложная функция [math]z = g(f(x))[/math] и её производная равна [math]z' = g'(y_0)f'(x_0)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По определению дифференциала [math]\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)[/math] и [math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)[/math]

[math]g[/math] определена в окрестности точки [math]y_0[/math]. Так как [math]\Delta y \to 0[/math] при [math]\Delta x \to 0[/math] и [math]y_0 = f(x_0)[/math], то при [math]\Delta x \to 0[/math], [math]f(x_0 + \Delta x)[/math] принадлежит окрестности точки [math]y_0[/math].

Тогда функция [math]z = g(f(x))[/math] при [math]x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0[/math] корректно определена.

[math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)[/math]

[math]\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = [/math] [math]g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = [/math] (по определению дифференциала для [math]g(y)[/math]) [math]g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =[/math] (по определению дифференциала для [math]f(x)[/math]) [math]g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math]

Итого получаем: [math]\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math]

Устремляя [math]\Delta x \to 0[/math], получаем [math]dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x[/math]

Для полного счастья осталось доказать, что [math]o(\Delta x) = o(\Delta y)[/math].

Утверждение:
[math]o(\Delta x) = o(\Delta y)[/math]
[math]\triangleright[/math]

По определению [math]o(\Delta y)[/math], получаем: [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : \ |\Delta y| \lt \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon[/math]

Последнее неравенство равносильно следующему: [math]|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|[/math]

[math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) [/math], где [math]o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math], что стремится к [math]0[/math].

Из всего этого следует, что при [math]\Delta x \to 0[/math], [math]\Delta y \to 0[/math] для имеющегося [math]\delta \gt 0[/math].

Так как [math]f(x)[/math] — непрерывна, то существует [math]\delta_1 \gt 0: \ |\Delta x| \lt \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| \lt \delta \Rightarrow |o(\Delta y)| \lt \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)| [/math].

Тогда получаем, что

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta_1 \gt 0: \ |\Delta x| \lt \delta_1 \Rightarrow o(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x) [/math], где [math]M = |f'(x_0) + o(1)|[/math].
[math]\triangleleft[/math]
[math]\triangleleft[/math]