Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (наведение красоты. Achtung! Значок для частной производной - не \delta, а \partial !!!)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> - шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> - дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если существует ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>, такой что : <tex>\left || \Delta x \right|| < r, (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>
+
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{---}}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}}дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если существует ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>, такой что : <tex>\left || \Delta x \right|| < r, (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>
  
 
<tex><\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left || \Delta x \right ||,  
 
<tex><\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left || \Delta x \right ||,  
 
\alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
 
\alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
  
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> - производная Фреше отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
+
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{---}}производная Фреше отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
 
}}
 
}}
 
Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
 
Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Композиция дифференцируемых отображений, дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
+
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
  
 
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
 
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
Строка 22: Строка 22:
 
<tex>\left|| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x)|\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left||\Delta x |\right| + \left|| \alpha(\Delta x)|\right| \left||\Delta x|\right|</tex>
 
<tex>\left|| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x)|\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left||\Delta x |\right| + \left|| \alpha(\Delta x)|\right| \left||\Delta x|\right|</tex>
  
Правая часть этого выражения стремится к нулю, следовательно <tex>\mathcal{F}</tex> - непрерывна в <tex>x</tex>.
+
Правая часть этого выражения стремится к нулю, следовательно <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}}непрерывна в <tex>x</tex>.
  
 
Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) = \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}</tex>
 
Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) = \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}</tex>
Строка 44: Строка 44:
 
Данный предел называется частной производной первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
 
Данный предел называется частной производной первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
  
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\delta \mathcal{F}_i}{\delta x_j}</tex>
+
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> - матрица Якоби отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> .  
+
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> {{---}}матрица Якоби отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> .  
 
<tex dpi = "140">
 
<tex dpi = "140">
 
A = (\mathcal{F}'(x)) =  
 
A = (\mathcal{F}'(x)) =  
 
\begin{pmatrix}
 
\begin{pmatrix}
\frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_2} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_n}\\
+
\frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_2} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_n}\\
\frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_2} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_n}\\
+
\frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_2} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_n}\\
...&...&...&...\\
+
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_1} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_n}
+
\frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_1} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_n}
 
\end{pmatrix}
 
\end{pmatrix}
 
</tex>
 
</tex>
Строка 62: Строка 62:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы - якобиан.
+
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы {{---}}якобиан.
 
}}
 
}}
 
Пример :
 
Пример :
Строка 86: Строка 86:
 
</tex>
 
</tex>
  
Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай - дифференцирование композиций.
+
Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай {{---}} дифференцирование композиций.
Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> - функция <tex>n</tex> переменных. <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad </tex>
+
Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{---}}функция <tex>n</tex> переменных. <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad </tex>
  
 
<tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>
 
<tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>
Строка 94: Строка 94:
 
Пусть существует <tex>f^{-1}(\overline{x}), \quad \varphi_j(t)</tex>
 
Пусть существует <tex>f^{-1}(\overline{x}), \quad \varphi_j(t)</tex>
  
<tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\delta f}{\delta x_1}, \frac{\delta f}{\delta x_2},...,\frac{\delta f}{\delta x_n})</tex>
+
<tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})</tex>
  
 
<tex>\overline{\varphi}(t) = (\varphi_1(t),...,\varphi_n(t))</tex>
 
<tex>\overline{\varphi}(t) = (\varphi_1(t),...,\varphi_n(t))</tex>
Строка 110: Строка 110:
 
<tex>(BA) = (B)(A)</tex>
 
<tex>(BA) = (B)(A)</tex>
  
<tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>
+
<tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>
  
Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> - дифференцируема. Так как шар выпуклое множество, то <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V, \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>
+
Пусть <tex>V</tex> {{---}}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> {{---}}дифференцируема. Так как шар {{---}} выпуклое множество, то <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V, \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>
  
 
<tex>g(t) = f(t\overline{a}+(1-t)\overline{b}),  
 
<tex>g(t) = f(t\overline{a}+(1-t)\overline{b}),  
\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\delta t}{\delta x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>
+
\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\partial t}{\partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>
  
 
<tex>\varphi_j(t) = ta_j + (1-t)b_j, \quad \varphi'_{j}(t) = a_j - b_j</tex>
 
<tex>\varphi_j(t) = ta_j + (1-t)b_j, \quad \varphi'_{j}(t) = a_j - b_j</tex>
  
<tex>g</tex> - непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta), \quad \Theta \in [0,1]</tex>
+
<tex>g</tex> {{---}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит, к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta), \quad \Theta \in [0,1]</tex>
  
 
Заменяя <tex>g</tex> и <tex>g'</tex> по найденным формулам, получаем :
 
Заменяя <tex>g</tex> и <tex>g'</tex> по найденным формулам, получаем :
  
<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\delta f}{\delta x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
+
<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
  
Мы пришли к следующему обобщению формулы Лагранжа конечных приращений : пусть <tex>f</tex> - дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда
+
Мы пришли к следующему обобщению формулы Лагранжа конечных приращений : пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда
 
<tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta \in (0,1)</tex>
 
<tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta \in (0,1)</tex>
  
Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> - формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.
+
Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> {{---}}формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.
  
 
<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n)</tex>
 
<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n)</tex>
Строка 134: Строка 134:
 
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} = \mathcal{F}'_i(\Theta_i\overline{a}+(1-\Theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>.
 
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} = \mathcal{F}'_i(\Theta_i\overline{a}+(1-\Theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>.
  
Для разных <tex>i</tex> - разные <tex>\Theta_i</tex>. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.
+
Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\Theta_i</tex>. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=
 
Неравенство Лагранжа
 
Неравенство Лагранжа
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m \quad \mathcal{F}</tex> - дифференцируема в каждой точке шара, тогда <tex>\forall  \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sum\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}(\overline{x})\right|\right|</tex>
+
Пусть <tex>V</tex> {{---}}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m \quad \mathcal{F}</tex> {{---}}дифференцируема в каждой точке шара, тогда <tex>\forall  \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sum\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}(\overline{x})\right|\right|</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad ||\varphi|| = 1</tex>
 
По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad ||\varphi|| = 1</tex>
Строка 145: Строка 145:
 
<tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a})), \quad t \in [0, 1]</tex>
 
<tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a})), \quad t \in [0, 1]</tex>
  
Так как шар - выпуклый, все корректно, <tex>\varphi' = \varphi</tex>. Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(t) = g'(\Theta), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
+
Так как шар {{---}}выпуклый, все корректно, <tex>\varphi' = \varphi</tex>. Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(t) = g'(\Theta), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
  
 
По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \overline{a}) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>
 
По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \overline{a}) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>
Строка 160: Строка 160:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n, \quad y = f(x_1,...,x_n), \quad y : V \to \mathbb{R}</tex>
+
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex>
  
<tex>\forall x \in V \quad \exists \frac{\delta f}{\delta x_j}</tex>, каждая из которых, как функция переменных <tex>n</tex> переменных непрерывна в <tex>\overline{a} \quad \lim\limits{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})  
+
<tex>\forall x \in V \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})  
= \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a})</tex>. Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
+
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>. Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})</tex>
 
<tex>\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})</tex>
Строка 171: Строка 171:
 
Для этого отрезка применим формулу Лагранжа конечных приращений, доказанную ранее :
 
Для этого отрезка применим формулу Лагранжа конечных приращений, доказанную ранее :
  
<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
+
<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
  
<tex dpi = "140">\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a} + \alpha_j(\Delta\overline{a})</tex>, все <tex>\alpha_j \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex>
+
<tex dpi = "140">\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \alpha_j(\Delta\overline{a}))</tex>, все <tex>\alpha_j \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex>
  
<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>
+
<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>
  
Нужно доказать, что вторая сумма - <tex>o(\Delta a)</tex>, ибо первая сумма и есть формально записанный дифференциал. По неравенству Коши для сумм :
+
Нужно доказать, что вторая сумма {{---}} <tex>o(\Delta a)</tex>, ибо первая сумма и есть формально записанный дифференциал. По неравенству Коши для сумм :
  
 
<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}||\Delta \overline{a}_j||</tex>
 
<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}||\Delta \overline{a}_j||</tex>

Версия 00:10, 9 июня 2011

TODO: исправить кучу ошибок, которая наваливается ближе к концу.

Определение:
Пусть [math]V_{r}(x)[/math] —шар в [math]X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y [/math]. [math]\mathcal{F}[/math] —дифференцируема в точке [math]x[/math], если существует ограниченный линейный оператор [math]\mathcal{A} : X \to Y[/math], который может зависеть от [math]x[/math], такой что : [math]\left || \Delta x \right|| \lt r, (x + \Delta x \in V_r(x))[/math]

[math]\lt \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left || \Delta x \right ||, \alpha(\Delta x) \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math]

Тогда [math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)[/math] —производная Фреше отображения [math]\mathcal{F}[/math] в точке [math]x[/math].

Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :

Теорема:
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений. Пусть [math]\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}[/math], тогда [math]\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
[math]\triangleleft[/math]

Из дифференцируемости следует непрерывность : [math]\left|| \mathcal{F}'(x)\Delta x |\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left|| \Delta x |\right|[/math]

[math]\left|| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x)|\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left||\Delta x |\right| + \left|| \alpha(\Delta x)|\right| \left||\Delta x|\right|[/math]

Правая часть этого выражения стремится к нулю, следовательно [math]\mathcal{F}[/math] —непрерывна в [math]x[/math].

Найдем вид матрицы производной Фреше при [math]\mathcal{F} : V_r(x) = \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/math]. Пусть [math]\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}[/math]

По условию [math]\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|[/math]

[math]\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|[/math]

[math] \Delta x = h \cdot e_j = (0, 0,..,h,..,0), \quad \forall h \in \mathbb{R}[/math]

[math]\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = A_{ij}h + \alpha_i(h\overline{e_j})|h|[/math]

[math]\frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = A_{ij} + \alpha_i(h e_j) \frac{|h|}{h}[/math]

У дроби справа будет предел, т.к [math]\alpha_i(h e_j) \to 0[/math] при [math]h \to 0[/math] и [math]\left| \frac{|h|}{h} \right | \le 1[/math]

[math]A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h}[/math]


Определение:
Данный предел называется частной производной первого порядка функции [math]\mathcal{F}_i[/math] по переменной [math]x_j[/math]. [math]A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}[/math]


Определение:
Матрица, составленная из элементов [math]A_{ij}[/math] —матрица Якоби отображения [math]\mathcal{F} \quad[/math] . [math] A = (\mathcal{F}'(x)) = \begin{pmatrix} \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_2} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_2} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_1} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} [/math]


Определение:
При [math]n = m[/math] определитель этой матрицы —якобиан.

Пример : [math] \mathcal{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \quad \mathcal{F} = \left\{ \begin{aligned} y_1 &= x_1 + x_2 \\ y_2 &= x_1x_2 \\ y_3 &= x_1 - x_2 \end{aligned} \right. [/math]

[math] \mathcal{F}' = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ x_2 & x_1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} [/math]

Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость [math]\mathcal{F}[/math]. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай — дифференцирование композиций. Пусть [math]f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/math] —функция [math]n[/math] переменных. [math]y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad [/math]

[math]x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}[/math]

[math]y = g(t) = f(\varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t))[/math] Пусть существует [math]f^{-1}(\overline{x}), \quad \varphi_j(t)[/math]

[math] (f'(\overline{x})) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})[/math]

[math]\overline{\varphi}(t) = (\varphi_1(t),...,\varphi_n(t))[/math]

[math] (\overline{\varphi'}(x)) = \begin{pmatrix} \varphi_{1}'(t)\\ \varphi_{2}'(t)\\ ...\\ \varphi_{n}'(t)\\ \end{pmatrix} [/math]

[math](BA) = (B)(A)[/math]

[math]g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)[/math]

Пусть [math]V[/math] —шар в [math]\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}[/math]. Пусть [math]\forall x \in V \quad f(x)[/math] —дифференцируема. Так как шар — выпуклое множество, то [math]\overline{a}, \overline{b} \in V, \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V[/math]

[math]g(t) = f(t\overline{a}+(1-t)\overline{b}), \quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\partial t}{\partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})[/math]

[math]\varphi_j(t) = ta_j + (1-t)b_j, \quad \varphi'_{j}(t) = a_j - b_j[/math]

[math]g[/math] —непрерывна на [math][0,1][/math] и дифференцируема на нем. Значит, к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : [math]g(1) - g(0) = g'(\Theta), \quad \Theta \in [0,1][/math]

Заменяя [math]g[/math] и [math]g'[/math] по найденным формулам, получаем :

[math]f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})[/math]

Мы пришли к следующему обобщению формулы Лагранжа конечных приращений : пусть [math]f[/math] —дифференцируема в [math]V[/math]. Тогда [math]\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta \in (0,1)[/math]

Для [math]\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m \gt 1[/math] —формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать [math]\Theta[/math], обслуживающее все координатные функции сразу.

[math]\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n)[/math]

[math]\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} = \mathcal{F}'_i(\Theta_i\overline{a}+(1-\Theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})[/math].

Для разных [math]i[/math] —разные [math]\Theta_i[/math]. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.

Теорема (Неравенство Лагранжа):
Пусть [math]V[/math] —шар в [math]\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m \quad \mathcal{F}[/math] —дифференцируема в каждой точке шара, тогда [math]\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|[/math], где [math]M = \sum\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}(\overline{x})\right|\right|[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По доказанному ранее, для [math]\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m [/math] существует линейный непрерывный функционал [math]\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad ||\varphi|| = 1[/math]

[math]g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a})), \quad t \in [0, 1][/math]

Так как шар —выпуклый, все корректно, [math]\varphi' = \varphi[/math]. Значит, [math]g[/math] на [math][0,1][/math] удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : [math]g(1) - g(t) = g'(\Theta), \quad \Theta \in (0,1)[/math]

По построению, [math]g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \overline{a}) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|[/math]

Тогда [math]\left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \right|\right| = g'(\Theta)[/math]

[math]g'(t) = \varphi'\mathcal{F}(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})[/math]

[math]||g'(t)|| \le ||\varphi'||\cdot ||\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))|| \quad ||\overline{b} - \overline{a}|| = 1 \cdot M \cdot ||\overline{b}-\overline{a}||[/math]

Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: [math]g(1) - g(0) = g'(\Theta)[/math], приходим к неравенству Лагранжа.
[math]\triangleleft[/math]

Базируясь на соотношениях конечных приращений, установим достаточное условие для дифференцируемости функций многих переменных.

Теорема:
Пусть [math]V(a) \subset \mathbb{R}^n[/math] [math]y = f(x_1,...,x_n)[/math], [math]y : V \to \mathbb{R}[/math] [math]\forall x \in V \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}[/math], каждая из которых, как функция [math]n[/math] переменных непрерывна в [math]\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})[/math]. Тогда существует дифференциал этой функции в точке [math]a[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})[/math]

[math]\overline{x}(t) = \overline{a} + \Delta\overline{a}t, \quad t \in [0, 1], \quad \overline{x}(t) \in V[/math]

Для этого отрезка применим формулу Лагранжа конечных приращений, доказанную ранее :

[math]f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \alpha_j(\Delta\overline{a}))[/math], все [math]\alpha_j \to 0[/math] при [math]\Delta\overline{a} \to 0[/math]

[math]f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j[/math]

Нужно доказать, что вторая сумма — [math]o(\Delta a)[/math], ибо первая сумма и есть формально записанный дифференциал. По неравенству Коши для сумм :

[math]\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}||\Delta \overline{a}_j||[/math]

Выражение под корнем стремится к нулю, таким образом, получаем требуемое.
[math]\triangleleft[/math]