Задание по КСЕ физика 3 — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Задание 2)
 
(не показано 9 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Задание 1 ==
 
== Задание 1 ==
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex>
+
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 395] </ref>
  
 
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')
 
# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')
# <tex> \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? </tex>
+
# <tex> \vec{V} = \nabla \phi \ - \ ? </tex>
 
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex>
 
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex>
  
'''Примечание:''' Кажется, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но так не получится верный ответ, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref>
+
'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref>
 
 
  
 
== Задание 2 ==
 
== Задание 2 ==
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле
+
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле.
{{TODO| t=А что найти-то надо? }}
 
  
 
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex>
 
'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex>
  
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку первое слагаемое равно <tex> 0 </tex>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex>
+
<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку можно подобрать <tex> \vec{A} </tex> такое, что <tex> \nabla \cdot \vec{A} = 0 </tex> <ref> См. [http://scask.ru/book_s_phis2.php?id=162 ''Векторный потенциал''] </ref>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex>
  
 
Дальше аналогично первому заданию.
 
Дальше аналогично первому заданию.
  
 +
NB. Преподаватель говорил, что для решения задачи надо "по полю ротора восстановить по скорости".
  
 
== Задание 3 ==
 
== Задание 3 ==
Строка 28: Строка 27:
 
= const  </tex>
 
= const  </tex>
  
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref>
+
Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 399] </ref>
  
  
Строка 36: Строка 35:
 
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta)  </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)
 
'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta)  </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)
  
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref>  
+
'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 407] </ref>
  
 
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex>
 
Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex>

Текущая версия на 09:42, 5 мая 2015

Задание 1[править]

[math] \vec{V}(\vec{r}) [/math] — поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна [math] q \quad (q \cdot dW = dQ) [/math] [1]

  1. [math] \phi(\vec{r}) \ - \ ? [/math] (Подсказка: использовать принцип суперпозиции)
  2. [math] \vec{V} = \nabla \phi \ - \ ? [/math]
  3. [math] \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? [/math]

Примечание: Казалось бы, [math] \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q [/math], но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. [2]

Задание 2[править]

Найти [math] \vec{V}(\vec{r}) [/math] — индуцированное заданной вихревой областью поле.

Подсказка к решению: Известно, что [math] \nabla \cdot \vec{V} = 0 [/math]. Из этого следует [math] \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} [/math]

[math] \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} [/math]; поскольку можно подобрать [math] \vec{A} [/math] такое, что [math] \nabla \cdot \vec{A} = 0 [/math] [3], то [math] \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} [/math]

Дальше аналогично первому заданию.

NB. Преподаватель говорил, что для решения задачи надо "по полю ротора восстановить по скорости".

Задание 3[править]

Есть вихревая трубка. Надо найти TODO:

[math] \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS = \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl = r = const [/math]

Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости [4] [5]


Задание 4[править]

Найти [math] \vec{V}(\vec{r}) [/math] и [math] p(\vec{r}) [/math], возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости.

Подсказка: удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти [math] V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) [/math] (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)

Подсказка: Наиболее очевидный вариант — написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.[6] [7]

Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей [math] \vec{V}_{\infty} [/math]; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент [math] \vec{D} [/math]


Источники информации[править]