Задача о двух конвертах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
 
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1.  
 
|id=идентификатор (необязательно), пример: def1.  
 
|neat = 0 - параметр нужен для того, чтобы определение не растягивалось на всю страницу(не обязательно)
 
|neat = 0 - параметр нужен для того, чтобы определение не растягивалось на всю страницу(не обязательно)
|definition=Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая сумма денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором.  Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Тогда в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
+
|definition=Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором.  Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
 
}}
 
}}
  
Строка 17: Строка 17:
  
  
Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>p(x)</tex>, определенное на всех положительных числах так, что <tex>p(x_1)</tex> - вероятность того, что в конвертах записаны <tex>x_1</tex> и <tex>2 \cdot x_1</tex>, причем <tex>\forall x>0 \ p(x) = p(2x)</tex> (условие равновероятности).
+
Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>p(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>p(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.
Тогда значения этой функции должны быть равны на всех степенях двойки, т.е. <tex>p(x)</tex> постоянна на них. Но <tex>\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} p(2^i) \leqslant 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.
+
Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. <tex>p(x)</tex> постоянна. Но <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^\infty p(2^i) = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.
  
Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство (именно ее мы разбирали на практике).
+
Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.
  
 
== Вторая формулировка ==
 
== Вторая формулировка ==
  
Ограничим суммы в конвертах - пусть они могут быть только степенями двойки. Также введем ''заданное'' вероятностное распределение геометрической прогрессией:
+
Действительно, пусть нам ''дано'' вероятностное распределение геометрической прогрессией:
  
 
* вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — <tex>(1-q)</tex>
 
* вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — <tex>(1-q)</tex>

Версия 05:06, 13 января 2012

Задача (Парадокс) двух конвертов — известный математический парадокс теории вероятностей.

Первая формулировка

Определение:
Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет [math] \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X [/math], т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?




В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может равновероятно находится [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. В действительности этого не может быть.


Предположим от противного, что существует вероятностное распределение [math]p(x)[/math], определенное на степенях двойки так, что [math]p(2^{x_1})[/math] - вероятность того, что в конвертах будут записаны [math]2^{x_1}[/math] и [math]2^{x_1 + 1}[/math], причем значения этой функции на соседних степенях равны. Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. [math]p(x)[/math] постоянна. Но [math]\displaystyle \sum_{i=1}^\infty p(2^i) = 1[/math] (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.

Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.

Вторая формулировка

Действительно, пусть нам дано вероятностное распределение геометрической прогрессией:

  • вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — [math](1-q)[/math]
  • вероятность выпадения 2 и 4 в конвертах — [math](1-q)q[/math]
  • вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — [math](1-q)q^2[/math]
  • вероятность выпадения [math]2^i[/math] и [math]2^{i+1}[/math] в конвертах — [math](1-q)q^i[/math]
  • и так далее.

тогда сумма всех вероятностей действительно [math](1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1[/math]

Итак, пусть нам дали конверт с суммой [math]2^i[/math]. тогда вероятность того, что в другом конверте [math]2^{i-1} \ [/math][math] \ \frac{1}{(1+q)} [/math], а того, что в другом конверте [math]2^{i+1} \ [/math][math] \ \frac{q}{(1+q)} [/math]

Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать [math]\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) [/math].

При [math]q \gt \frac{1}{2}[/math] последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем [math]2^i[/math]. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?

А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико. В данной задаче, не меняя конверты, "в среднем" мы заработаем [math]\infty[/math] денег. А если будем менять конверты, то добавится множитель [math] \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )[/math]. Верно, что [math] \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )[/math], и никакой ошибки тут нет.


Ссылки

Википедия - Парадокс двух конвертов

Очень подробная статья про парадокс