Задача о порядке перемножения матриц — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Перебор всех вариантов)
м (Псевдокод)
 
(не показано 29 промежуточных версий 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Задача о порядке перемножения матриц''' (англ. ''chain matrix multiplication'') — классическая задача, которая может быть решена с помощью динамического программирования. Нам дается последовательность матриц, в которой мы хотим найти самый эффективный способ их перемножения.
+
{{Задача
 +
|definition =  Дана последовательность из <tex>n</tex> матриц, требуется найти самый эффективный способ их перемножения.
 +
}}
  
У нас есть множество способов перемножить, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке мы расставим скобки между множителями, результат будет один и тот же.  Например, если у нас есть четыре матрицы ''A'', ''B'', ''C'' и ''D'', то существуют следующие варианты:
+
У нас есть множество способов перемножить матрицы, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке расставляются скобки между множителями, результат будет один и тот же.   
:(''ABC'')''D'' = (''AB'')(''CD'') = ''A''(''BCD'') = ''A''(''BC'')''D'' = ....
 
  
Однако, порядок в котором мы расставим скобки между матрицами повлияет на количество арифметических операций, которые потребуются на вычисление ответа, или, другими словами, на ''эффективность''.
+
[[Правильные скобочные последовательности | Расстановок скобок]] достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]].
 +
Однако, порядок в котором расставляются скобки между матрицами повлияет на количество арифметических операций, которые потребуются на вычисление ответа, или, другими словами, на ''эффективность''.
 
   
 
   
Например, предположим, что А = (10 &times; 30), B = (30 &times; 5), C = (5 &times; 60). Тогда:
+
Например, предположим, что <tex>\dim{A}= 10 \times 30</tex>, <tex>\dim{B} = 30 \times 5</tex>, <tex>\dim{C} = 5 \times 60</tex>. Тогда:
  
:(''AB'')''C'' = (10&times;30&times;5) + (10&times;5&times;60)  = 1500 + 3000 = 4500 операций
+
: Для <tex> (A \times B)\times C</tex> будет <tex>(10\times30\times5) + (10\times5\times60)  = 1500 + 3000 = 4500</tex> операций
:''A''(''BC'') = (30&times;5&times;60) + (10&times;30&times;60) = 9000 + 18000 = 27000 операций.
+
: Для <tex> A \times(B \times C)</tex> будет <tex>(30\times5\times60) + (10\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000</tex> операций.
 
 
Как мы видим, первый способ гораздо эффективней. Теперь стало понятно, что нам надо найти оптимальную расстановку скобок в нашем выражении из <tex>n</tex> матриц. 
 
Как бы это сделать? Мы можем перебрать все расстановки скобок (brute force), но время выполнения этого алгоритма будет расти экспоненциально от <tex>n</tex> количества матриц, так как навскидку в каждую позицию мы можем поставить открывающуюся и закрывающуюся скобку, то асимптотика будет равна ''n''­-ому [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0 числу Каталана], плюс для каждой правильной скобочной последовательности вычислить ''эффективность'' перемножения или, другими словами, <tex>O(n * C_n)</tex>. Решение данной задачи, как мы увидим — это разбить нашу задачу на подзадачи. Так же мы увидим, что с помощю решения однократного решения подзадачи  и повторного использования ответа, мы сможем заметно сократить асимптотику.  
 
  
 +
Как мы видим, первый способ гораздо эффективней.
  
 
== Решение задачи ==
 
== Решение задачи ==
Строка 19: Строка 19:
 
=== Перебор всех вариантов ===
 
=== Перебор всех вариантов ===
  
Сначала, давайте определимся, что мы хотим узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если мы перемножаем только две матрицы, то мы можем осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, мы можем найти минимальную стоимость используя следующий рекурсивный алгоритм:
+
В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если перемножить только две матрицы, то можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, можно найти минимальную стоимость используя следующий [[Динамическое программирование |  рекурсивный алгоритм]]:
  
* Взять последовательность матриц и разделить её на две части.
+
* взять последовательность матриц и разделить её на две части,
* Найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности.
+
* найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности,
* Сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц.
+
* сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц,
* Сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.
+
* сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.
  
Например, если у нас есть четыре матрицы ''ABCD'', то мы посчитаем для (''A'')(''BCD''), (''AB'')(''CD''), и (''ABC'')(''D''), делая рекурсивные вызовы на отрезках ''ABC'', ''AB'', ''CD'', и ''BCD'', чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них мы выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость.
+
Или другими словами, давайте обозначим через <tex>f(i, j)</tex> минимальное количество скалярных умножений для вычисления матрицы <tex>M_{i..j}</tex>, то получаем следующее рекуррентное соотношение:
 +
<tex> f(i,j) = \left \{
 +
\begin{array}{ll}
 +
0, & i=j \\
 +
\min\limits_{i \leqslant k < j}{(f(i,k) + f(k+1,j) + p_{i-1}p_kp_j)} & i < j
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</tex>
  
Однако, если мы применим этот алгоритм, то мы обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех скобочных последовательностей! Что пошло не так? Ответом на этот вопрос является то факт, что мы делаем значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, мы делали рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета ''ABC'' и ''AB''. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета ''ABC'' так же требует нахождения лучшей стоимости для ''AB''. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется ''n''–ому [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0 числу Каталана], да плюс вычисление для каждой правильной скобочной последовательности ''затрат'' на перемножение (то есть <tex>O(n * C_n)</tex>).
+
Объясняется оно просто: для того, чтобы найти произведение матриц <tex>M_{i..j}</tex> при <tex>i=j</tex> не нужно ничего делать — это и есть сама матрица <tex>M_i</tex>. При нетривиальном случае мы перебираем все точки разбиения матрицы <tex>M_{i..j}</tex> на матрицы <tex>M_{i..k}</tex> и <tex>M_{k+1..j}</tex>, ищем количество операций, необходимое чтобы их получить и затем перемножаем для получения матрицы <tex>M_{i..j}</tex>.(Оно будет равно кол-ву операций, потраченное на решение подзадач + стоимость умножения матриц <tex>M_{i..k}M_{k+1..j}</tex>). Считаем, что размеры матриц заданы в массиве <tex>p</tex> и размер матрицы <tex>M_i</tex> равен <tex>p_{i-1} \times p_i</tex>.
  
=== Оптимизации динамическим программированием ===
 
Одно из простых решений — это ''мемоизация''. Каждый раз, когда мы считаем минимальную стоимость перемножения определенной подпоследовательности, давайте мы будем запоминать ответ. Если мы когда либо ещё раз захотим посчитать это ещё раз, то мы уже будет иметь ответ и не будем пересчитывать. Поскольку существует всего <tex>O(n^2)</tex> подотрезков, где <tex>n</tex> — это количество матриц, то память занимаемая программой будет не так велика. Можно сказать, что с помощью этого простого трюка мы уменьшили асимптотику алгоритма (перебор) с <tex>O(n * C_n)</tex> до <tex>O(n^3)</tex>, что является достаточно эффективным для реальных приложений.
 
  
=== Восстановление ответа ===
+
Чтобы привести пример, давайте вернемся к нашим матрицам. Если у нас есть четыре матрицы <tex>ABCD</tex>, то мы посчитаем для <tex>(A)(BCD)</tex>, <tex>(AB)(CD)</tex>, и <tex>(ABC)(D)</tex>, делая рекурсивные вызовы на отрезках <tex>ABC</tex>, <tex>AB</tex>,<tex>CD</tex>, и <tex>BCD</tex>, чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость.
С помощью вышеописанного алгоритма мы можем восстановить порядок, в котором нам необходимо перемножать матрицы, чтобы достичь минимального количества арифметических операций, затрачиваемых на вычисление ответа. Когда мы узнаем, как нам нужно разбить отрезок на два подотрезка, то при восстановлении ответа мы заключаем эти два подотрезка(последовательности матриц) в скобки и передаем получившийся ответ выше по рекурсии.  
+
 
 +
Однако, если применить этот алгоритм, то обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех [[Правильные скобочные последовательности |  скобочных последовательностей]]. Делается значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета <tex>ABC</tex> и <tex>AB</tex>. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета <tex>ABC</tex> так же требует нахождения лучшей стоимости для <tex>AB</tex>. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]], да плюс вычисление для каждой [[Правильные скобочные последовательности | правильной скобочной последовательности]] ''затрат'' на перемножение (то есть <tex>O(n \cdot C_n)</tex>). Так как <tex>N</tex>­-ое [[Числа Каталана | число Каталана]] равняется <tex dpi="163">  \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} </tex> или асимптотически <tex dpi="163"> \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} </tex>, а это быстро возрастающая функциия, нам бы хотелось решение,  которое работает быстрее.
  
 
=== Псевдокод ===
 
=== Псевдокод ===
<pre>
 
  
int dp[][];
 
int v[];
 
// dp[i][j] — меморизация на отрезке [i, j)
 
// Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку
 
// Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно
 
int matrixChainMultiplication(int l, int r)
 
{
 
//l — включая в отрезок
 
//r — исключая из отрезка
 
if dp[l][r] == -1 //Если значение динамики не посчитано
 
if l == r - 1
 
dp[l][r] = 0; //Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю
 
else
 
dp[l][r] = infinity;
 
for (int i = l + 1; i < r; i++)
 
dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r - 1] + matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r));
 
return dp[l][r];
 
}
 
</pre>
 
  
== Литература ==
+
'''int''' dp[][]      <font color="green">// dp[i][j] — ответ на отрезке [i, j)</font>
 +
'''int''' v[]        <font color="green">// Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку
 +
                // Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно
 +
                // l — включая в отрезок, r — исключая из отрезка. Изначально l = 0, r = n, где n {{---}} длина последовательности</font> 
 +
'''int''' matrixChainMultiplication('''int''' l, '''int''' r)     
 +
    '''if''' dp[l][r] == -1                   <font color="green">// Если значение динамики не посчитано</font>
 +
        '''if''' l == r - 1
 +
            dp[l][r] = 0                   <font color="green"> // Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю</font>
 +
        '''else'''
 +
            dp[l][r] = <tex>\infty</tex>
 +
            '''for''' i = l + 1 '''to''' r - 1
 +
                dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r] +  matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r))
 +
    '''return''' dp[l][r]
 +
 
 +
== См. также ==
 +
 
 +
*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности ]]
 +
*[[Кратчайший путь в ациклическом графе ]]
 +
*[[Задача о расстановке знаков в выражении]]
 +
*[[Задача о выводе в контекстно-свободной грамматике, алгоритм Кока-Янгера-Касами | Aлгоритм Кока-Янгера-Касами ]]
 +
*[[Правильные скобочные последовательности | Правильные скобочные последовательности ]]
 +
== Источники информации ==
 +
 
 +
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_chain_multiplication Wikipedia {{---}} Matrix chain multiplication]
  
* Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ
 
* Sanjoy Dasgupta , Christos H. Papadimitriou, Umesh Vazirani Algorithms
 
* Английская википедиа [http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_chain_multiplication Matrix chain multiplication]
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория:Динамическое_программирование]]
 
[[Категория:Динамическое_программирование]]

Текущая версия на 13:27, 7 февраля 2018

Задача:
Дана последовательность из [math]n[/math] матриц, требуется найти самый эффективный способ их перемножения.


У нас есть множество способов перемножить матрицы, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке расставляются скобки между множителями, результат будет один и тот же.

Расстановок скобок достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно [math]n[/math]–ому числу Каталана. Однако, порядок в котором расставляются скобки между матрицами повлияет на количество арифметических операций, которые потребуются на вычисление ответа, или, другими словами, на эффективность.

Например, предположим, что [math]\dim{A}= 10 \times 30[/math], [math]\dim{B} = 30 \times 5[/math], [math]\dim{C} = 5 \times 60[/math]. Тогда:

Для [math] (A \times B)\times C[/math] будет [math](10\times30\times5) + (10\times5\times60) = 1500 + 3000 = 4500[/math] операций
Для [math] A \times(B \times C)[/math] будет [math](30\times5\times60) + (10\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000[/math] операций.

Как мы видим, первый способ гораздо эффективней.

Решение задачи[править]

Перебор всех вариантов[править]

В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если перемножить только две матрицы, то можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, можно найти минимальную стоимость используя следующий рекурсивный алгоритм:

  • взять последовательность матриц и разделить её на две части,
  • найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности,
  • сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц,
  • сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.

Или другими словами, давайте обозначим через [math]f(i, j)[/math] минимальное количество скалярных умножений для вычисления матрицы [math]M_{i..j}[/math], то получаем следующее рекуррентное соотношение: [math] f(i,j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i=j \\ \min\limits_{i \leqslant k \lt j}{(f(i,k) + f(k+1,j) + p_{i-1}p_kp_j)} & i \lt j \end{array} \right. [/math]

Объясняется оно просто: для того, чтобы найти произведение матриц [math]M_{i..j}[/math] при [math]i=j[/math] не нужно ничего делать — это и есть сама матрица [math]M_i[/math]. При нетривиальном случае мы перебираем все точки разбиения матрицы [math]M_{i..j}[/math] на матрицы [math]M_{i..k}[/math] и [math]M_{k+1..j}[/math], ищем количество операций, необходимое чтобы их получить и затем перемножаем для получения матрицы [math]M_{i..j}[/math].(Оно будет равно кол-ву операций, потраченное на решение подзадач + стоимость умножения матриц [math]M_{i..k}M_{k+1..j}[/math]). Считаем, что размеры матриц заданы в массиве [math]p[/math] и размер матрицы [math]M_i[/math] равен [math]p_{i-1} \times p_i[/math].


Чтобы привести пример, давайте вернемся к нашим матрицам. Если у нас есть четыре матрицы [math]ABCD[/math], то мы посчитаем для [math](A)(BCD)[/math], [math](AB)(CD)[/math], и [math](ABC)(D)[/math], делая рекурсивные вызовы на отрезках [math]ABC[/math], [math]AB[/math],[math]CD[/math], и [math]BCD[/math], чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость.

Однако, если применить этот алгоритм, то обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех скобочных последовательностей. Делается значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета [math]ABC[/math] и [math]AB[/math]. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета [math]ABC[/math] так же требует нахождения лучшей стоимости для [math]AB[/math]. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется [math]n[/math]–ому числу Каталана, да плюс вычисление для каждой правильной скобочной последовательности затрат на перемножение (то есть [math]O(n \cdot C_n)[/math]). Так как [math]N[/math]­-ое число Каталана равняется [math] \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} [/math] или асимптотически [math] \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} [/math], а это быстро возрастающая функциия, нам бы хотелось решение, которое работает быстрее.

Псевдокод[править]

int dp[][]      // dp[i][j] — ответ на отрезке [i, j)
int v[]         // Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку
                // Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно
                // l — включая в отрезок, r — исключая из отрезка. Изначально l = 0, r = n, где n — длина последовательности  
int matrixChainMultiplication(int l, int r)      
    if dp[l][r] == -1 		                   // Если значение динамики не посчитано
        if l == r - 1 
            dp[l][r] = 0	                   // Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю
        else
            dp[l][r] = [math]\infty[/math]
            for i = l + 1 to r - 1
                dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r] +  matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r))
    return dp[l][r]

См. также[править]

Источники информации[править]