'''Расстояние Левенштейна''' (также '''редакционное расстояние''' или '''дистанция редактирования''') между двумя строками в теории информации и компьютерной лингвистике — это минимальное количество операций вставки одного символа, удаления одного символа и замены одного символа на другой, необходимых для превращения одной строки в другую. == Свойства == Для расстояния Левенштейна справедливы следующие утверждения:* <math>\rm{d}(S_1,S_2) \ge | |S_1| - |S_2| |</math>* <math>\rm{d}(S_1,S_2) \le max( |S_1| , |S_2| )</math>* <math>\rm{d}(S_1,S_2) = 0 \Leftrightarrow S_1 = S_2</math>где <math>\rm{d}(S_1,S_2)</math> — расстояние Левенштейна между строками <math>S_1</math> и <math>S_2</math>, а |S| - длина строки S. == Редакционное предписание == ''Редакционным предписанием'' называется последовательность действий, необходимых для получения из первой строки второй кратчайшим образом. Обычно действия обозначаются так: '''D''' (англ. delete) — удалить, '''I''' (англ. insert) — вставить, '''R''' (англ. replace) — заменить, '''M''' (англ. match) — совпадение. Например, для 2-х строк «hell123» и «hello214» можно построить следующую таблицу преобразований:{| class="wikitable" border = "1"!'''M''' ||'''M''' ||'''M''' ||'''M''' ||'''R''' ||'''M''' ||'''R''' ||'''I'''|-|'''h''' ||'''e''' ||'''l''' ||'''l''' ||'''1''' ||'''2''' ||'''3''' |||-|'''h''' ||'''e''' ||'''l''' ||'''l''' ||'''o''' ||'''2''' ||'''1''' ||'''4'''|} === Разные цены операций === Цены операций могут зависеть от вида операции (вставка, удаление, замена) и/или от участвующих в ней символов, отражая разную вероятность разных ошибок при вводе текста, и т. п. В общем случае:* w(a, b) — цена замены символа a на символ b* w(ε, b) — цена вставки символа b* w(a, ε) — цена удаления символа a Для решения задачи #перенаправление [[Задача о редакционном расстоянии, необходимо найти последовательность замен, минимизирующую суммарную цену. Расстояние Левенштейна является частным случаем этой задачи при* w(a, а) = 0* w(a, b) = 1 при a≠b* w(ε, b) = 1* w(a, ε) = 1 Как частный случай, так и задачу для произвольных w, решает алгоритм Вагнера — Фишера, приведённый ниже. Здесь и ниже мы считаем, что все w неотрицательны, и действует правило треугольника: если две последовательные операции можно заменить одной, это не ухудшает общую цену (например, заменить символ x на y, а потом с y на z не лучше, чем сразу x на z). == Формула == Будем считать, что элементы строк нумеруются с первого, как принято в математике, а не нулевого. Пусть <math>S_1</math> и <math>S_2</math> — две строки (длиной <math>M</math> и <math>N</math> соответственно) над некоторым алфавитом, тогда редакционное расстояние <math>\rm{d}(S_1, S_2)</math> можно подсчитать по следующей рекуррентной формуле: <math>\ \rm{d}(S_1, S_2) = \rm{D}(M,N)</math> , где <math>\rm{D}(i, j) = \left\{\begin{array}{llcl}0&&;&i = 0,\ j = 0\\i&&;&j = 0,\ i > 0\\j&&;&i = 0,\ j > 0\\\rm{min}(\\&\rm{D}(i, j - 1) + 1\\&\rm{D}(i - 1, j) + 1&;&j > 0,\ i > 0\\&\rm{D}(i - 1, j - 1) + \rm{m}(S_1[i], S_2[j])\\)\end{array}\right.</math>, где <math>\rm{m}(a,b)</math> равна нулю, если <math>a = b</math> и единице в противном случае; <math>\min(a, b, c)</math> возвращает наименьший из аргументов. === Доказательство === Рассмотрим формулу более подробно. Здесь <math>D(i, j)</math> — расстояние между префиксами строк: первыми i символами строки <math>S_1</math> и первыми j символами строки <math>S_2</math>. Очевидно, что редакционное расстояние между двумя пустыми строками равно нулю. Так же очевидно то, что чтобы получить пустую строку из строки длиной <math>i</math>, нужно совершить <math>i</math> операций удаления, а чтобы получить строку длиной <math>j</math> из пустой, нужно произвести <math>j</math> операций вставки. Осталось рассмотреть нетривиальный случай, когда обе строки непусты. Для начала заметим, что в оптимальной последовательности операций, их можно произвольно менять местами. В самом деле, рассмотрим две последовательные операции:* Две замены одного и того же символа — неоптимально (если мы заменили x на y, потом y на z, выгоднее было сразу заменить x на z).* Две замены разных символов можно менять местами* Два стирания или две вставки можно менять местами* Вставка символа с его последующим стиранием — неоптимально (можно их обе отменить)* Стирание и вставку разных символов можно менять местами* Вставка символа с его последующей заменой — неоптимально (излишняя замена)* Вставка символа и замена другого символа меняются местами* Замена символа с его последующим стиранием — неоптимально (излишняя замена)* Стирание символа и замена другого символа меняются местами Пускай <math>S_1</math> кончается на символ «a», <math>S_2</math> кончается на символ «b». Есть три варианта:# Символ «а», на который кончается <math>S_1</math>, в какой-то момент был стёрт. Сделаем это стирание первой операцией. Тогда мы стёрли символ «a», после чего превратили первые <math>i-1</math> символов <math>S_1</math> в <math>S_2</math> (на что потребовалось <math>D(i-1,\ j)</math> операций), значит, всего потребовалось <math>D(i-1,\ j)+1</math> операций# Символ «b», на который кончается <math>S_2</math>, в какойВагнера-то момент был добавлен. Сделаем это добавление последней операцией. Мы превратили <math>S_1</math> в первые <math>j-1</math> символов <math>S_2</math>, после чего добавили «b». Аналогично предыдущему случаю, потребовалось <math>D(i,\ j-1)+1</math> операций.# Оба предыдущих утверждения неверны. Если мы добавляли символы справа от финального «a», то чтобы сделать последним символом «b», мы должны были или в какой-то момент добавить его (но тогда утверждение 2 было бы верно), либо заменить на него один из этих добавленных символов (что тоже невозможно, потому что добавление символа с его последующей заменой неоптимально). Значит, символов справа от финального «a» мы не добавляли. Самого финального «a» мы не стирали, поскольку утверждение 1 неверно. Значит, единственный способ изменения последнего символа — его замена. Заменять его 2 или больше раз неоптимально. Значит,## Если <math>a=b</math>, мы последний символ не меняли. Поскольку мы его также не стирали и не приписывали ничего справа от него, он не влиял на наши действия, и, значит, мы выполнили <math>D(i-1,\ j-1)</math> операций.## Если <math>a\ne b</math>, мы последний символ меняли один раз. Сделаем эту замену первой. В дальнейшем, аналогично предыдущему случаю, мы должны выполнить <math>D(i-1,\ j-1)</math> операций, значит, всего потребуется <math>D(i-1,\ j-1)+1</math> операций. == Алгоритм Вагнера — Фишера == Для нахождения кратчайшего расстояния необходимо вычислить матрицу D, используя [[#Формула|вышеприведённую формулу]]. Её можно вычислять как по строкам, так и по столбцам. Псевдокод алгоритма, написанный при произвольных ценах замен, вставок и удалений(важно помнить, что элементы нумеруются с 1):<code> D(0,0) = 0 для всех j от 1 до N D(0,j) = D(0,j-1) + цена вставки символа S2[j] для всех i от 1 до M D(i,0) = D(i-1,0) + цена удаления символа S1[i] для всех j от 1 до N D(i,j) = min( D(i-1, j) + цена удаления символа S1[i], D(i, j-1) + цена вставки символа S2[j], D(i-1, j-1) + цена замены символа S1[i] на символ S2[j] ) вернуть D(M,N)</code> === Память === Алгоритм в виде, описанном выше, требует <math>\Theta(M \cdot N)</math> операций и такую же память. Последнее может быть неприятным: так, для сравнения файлов длиной в 10<sup>5</sup> строк потребуется около 40 гигабайт памяти. Если требуется только расстояние, легко уменьшить требуемую память до <math>\Theta(\min(M,N))</math>. Для этого надо учесть, что после вычисления любой строки предыдущая строка больше не нужна. Более того, после вычисления D(i, j) не нужны также D(i-1,0) … D(i-1,j-1). Поэтому алгоритм можно переписать как<code> для всех i от 0 до M для всех j от 0 до N вычислить D(i, j) если i>0 и j>0 стереть D(i-1, j-1) вернуть D(M, N)</code>
