Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Вторая теорема)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
  <tex> L_1, L_2 </tex> –- разрешимы, тогда
+
  Языки <tex> L_1, L_2 </tex> –- разрешимы, тогда языки
  
  
<tex>\left. \begin{array}{lll} L_1 \cup L_2 \\ L_1 \cap L_2 \\ \bar{L_1} \\ L_1 \backslash L_2 \\ L_1^* \\  L_1 L_2 \end{array} \right\} </tex> разрешимы
+
<tex>\left. \begin{array}{lll} L_1 \cup L_2 \\ L_1 \cap L_2 \\ \overline{L_1} \\ L_1 \backslash L_2 \\ L_1 \times L_2 \\L_1^* \\  L_1 L_2 \end{array} \right\} </tex> тоже разрешимы.
 
|proof=
 
|proof=
Если языки разрешимы, значит для каждого из них есть разрешающая программа. Тогда разрешающая программа для языка <tex>L_1 \cup L_2</tex> будет запускать разрешающую для каждого языка и выводить 1, если оба разрешателя выдали 1, 0 во всех остальных случаях. Для языка <tex> L_1 \cap L_2 </tex> разрешающая программа будет запускать оба разрешателя и выдавать 0, если оба разрешателя выдали 0, 1 во всех остальынх случаях. Для языка <tex> \bar{L_1} </tex> разрешатель будет выдавать результат, обратный результату разрешателя для <tex> L_1 </tex>. Для языка <tex> L_1 \backslash L_2 </tex> разрешающая программа будет запускать оба разрешателя и выдавать 1, если первый разрешатель вернет 1, а второй 0 и 0 во всех остальных случаях. Для языка <tex> L_1^* </tex> разрешатель будет перебирать все возможные разбиения данного ему слова на подслова, и для каждого проверять принадлежность <tex> L_1 </tex>. Если хотя бы в одном разбиении все слова будут принадлежать <tex> L_1 </tex>, то все слово принадлежит <tex> L_1^* </tex> иначе не принадлежит. Для языка <tex> L_1 L_2 </tex> разрешающая программа будет перебирать все возможные разбиения на 2 слова и проверять принадлежность первого слова <tex> L_1 </tex> и второго слова <tex> L_2 </tex>. Если хотя бы для одного разбиения оба разрешателя вернут 1, то слово принадлежит <tex> L_1 L_2 </tex>, иначе не принадлежит.
+
Пусть <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex> — разрешающие программы для языков 
 +
<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> соответственно. Для доказательства достаточно написать разрешающую программу (разрешитель) для каждого случая.  
 +
 
 +
Разрешающая программа для языка <tex> L_1 \cup L_2 :</tex>  
 +
 
 +
<tex>p(x)</tex>
 +
    '''return''' <tex>(p_1(x) == 1) \land (p_2(x) == 1)</tex>
 +
 
 +
 
 +
Для языка <tex> L_1 \cap L_2 :</tex>
 +
 
 +
<tex>p(x)</tex>
 +
    '''return''' <tex>(p_1(x) == 1) \lor (p_2(x) == 1)</tex>
 +
 
 +
 
 +
Для языка <tex> \overline{L_1} :</tex>  
 +
 
 +
<tex>p(x)</tex>
 +
    '''return''' <tex>(p_1(x) == 0)</tex>
 +
 
 +
 
 +
Для языка <tex> L_1 \backslash L_2 :</tex>  
 +
 
 +
<tex>p(x)</tex>
 +
    '''return''' <tex>(p_1(x) == 1) \land (p_2(x) == 0)</tex>
 +
 
 +
 
 +
Для языка <tex> L_1 \times L_2 :</tex>
 +
 
 +
<tex>p(\langle x, y \rangle)</tex>
 +
    '''return''' <tex>(p_1(x) == 1) \land (p_2(y) == 1)</tex>
 +
 
 +
 
 +
Для языка <tex>L_1^* :</tex>
 +
 +
<tex>p(x)</tex>
 +
    '''for''' <tex>x_i :</tex> разбиение <tex>x</tex>    
 +
        '''if''' <tex>(p_1(x_i) == 1)</tex>
 +
        '''then return''' 1
 +
    '''return''' 0 
 +
 
 +
Разрешатель будет перебирать все возможные разбиения данного ему слова на подслова, и для каждого проверять принадлежность <tex> L_1 </tex>. Если хотя бы в одном разбиении все подслова будут принадлежать <tex> L_1 </tex>, то все слово принадлежит <tex> L_1^* </tex>, иначе не принадлежит.  
 +
 
 +
 
 +
Для языка <tex> L_1 L_2 : </tex>  
 +
 
 +
<tex>p(x)</tex>
 +
    '''for''' <tex>x_1, x_2 :</tex> разбиение <tex>x</tex>   
 +
        '''if''' <tex>(p_1(x_1) == 1 \land p_2(x_2) == 1)</tex>
 +
        '''then return''' 1
 +
    '''return''' 0 
 +
 
 +
Разрешитель будет перебирать все возможные разбиения на два слова и проверять принадлежность первого слова <tex> L_1 </tex> и второго слова <tex> L_2 </tex>. Если хотя бы для одного разбиения оба разрешателя вернут 1, то слово принадлежит <tex> L_1 L_2 </tex>, иначе не принадлежит.
 
}}
 
}}
  

Версия 06:58, 18 декабря 2011

Теорема:
Языки [math] L_1, L_2 [/math] –- разрешимы, тогда языки


[math]\left. \begin{array}{lll} L_1 \cup L_2 \\ L_1 \cap L_2 \\ \overline{L_1} \\ L_1 \backslash L_2 \\ L_1 \times L_2 \\L_1^* \\ L_1 L_2 \end{array} \right\} [/math] тоже разрешимы.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] — разрешающие программы для языков [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] соответственно. Для доказательства достаточно написать разрешающую программу (разрешитель) для каждого случая.

Разрешающая программа для языка [math] L_1 \cup L_2 :[/math]

[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \land (p_2(x) == 1)[/math] 


Для языка [math] L_1 \cap L_2 :[/math]

[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \lor (p_2(x) == 1)[/math] 


Для языка [math] \overline{L_1} :[/math]

[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 0)[/math]


Для языка [math] L_1 \backslash L_2 :[/math]

[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \land (p_2(x) == 0)[/math] 


Для языка [math] L_1 \times L_2 :[/math]

[math]p(\langle x, y \rangle)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \land (p_2(y) == 1)[/math] 


Для языка [math]L_1^* :[/math]

[math]p(x)[/math]
    for [math]x_i :[/math] разбиение [math]x[/math]     
        if [math](p_1(x_i) == 1)[/math] 
        then return 1
    return 0  

Разрешатель будет перебирать все возможные разбиения данного ему слова на подслова, и для каждого проверять принадлежность [math] L_1 [/math]. Если хотя бы в одном разбиении все подслова будут принадлежать [math] L_1 [/math], то все слово принадлежит [math] L_1^* [/math], иначе — не принадлежит.


Для языка [math] L_1 L_2 : [/math]

[math]p(x)[/math]
    for [math]x_1, x_2 :[/math] разбиение [math]x[/math]     
        if [math](p_1(x_1) == 1 \land p_2(x_2) == 1)[/math] 
        then return 1
    return 0  
Разрешитель будет перебирать все возможные разбиения на два слова и проверять принадлежность первого слова [math] L_1 [/math] и второго слова [math] L_2 [/math]. Если хотя бы для одного разбиения оба разрешателя вернут 1, то слово принадлежит [math] L_1 L_2 [/math], иначе — не принадлежит.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math] L_1, L_2 [/math] –- перечислимы, тогда


[math]\left. \begin{array}{lll} L_1 \cup L_2 \\ L_1 \cap L_2 \\ L_1^* \\ L_1 L_2 \end{array} \right\} [/math] перечислимы

[math]\left. \begin{array}{lll} \bar{L_1} \\ L_1 \backslash L_2 \end{array} \right\} [/math] могут быть не перечислимы
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для [math] L_1 \cup L_2 [/math] перечислитель будет по очереди на один шаг запускать перечислители [math] L_1 [/math] и [math] L_2 [/math] и выдавать по очереди слова из [math] L_1 [/math] и [math] L_2 [/math]. Дальше воспользуемся возможностью построить полувычислитель для перечислимого языка. Для языка [math] L_1 \cap L_2 [/math] построим полувычислитель. Запустим по очереди полувычислители для [math] L_1 [/math] и [math] L_2 [/math]. Если слово принадлежит [math] L_1 \cap L_2 [/math], то оба полувычислителя выдадут 1, иначе один из полувычислителей зависнет, и полувычислитель для [math] L_1 \cap L_2 [/math] тоже зависнет, что допустимо. Для [math] L_1^* [/math] перечислитель строится следующим образом: запускаем перечислитель для [math] L_1 [/math] в цикле и запоминаем выданные им слова. При выдаче каждого нового слова перебираем все возможные перестановки уже выданных слов и выдаем их. Перечислитель для [math] L_1 L_2 [/math] строим следующим образом: запускаем одновременно перечислители для [math] L_1 [/math] и [math] L_2 [/math], запоминая все выданные слова. При выдаче новых слов перебираем все возможные пары из запомненных слов и выдаем их.


Рассмотрим язык [math] \bar{L_1} [/math]. Предположим, что он перечислим. Тогда имея какое-либо слово, мы можем одновременно запустить перечислители для [math] L_1 [/math] и [math] \bar{L_1} [/math]. В какой-то момент времени слово появится либо в выводе перечислителя для [math] L_1 [/math], либо в выводе перечислителя для [math] \bar{L_1} [/math]. Тогда получится что [math] L_1 [/math] разрешим, так как про любое слово мы можем узнать принадлежит оно [math] L_1 [/math] или не принадлежит. Но мы знаем, что существуют перечислимые, но не разрешимые языки, следовательно, язык [math] \bar{L_1} [/math] может быть не перечислим. Теперь рассмотрим [math] L_1 \backslash L_2 [/math]. В качестве [math] L_1 [/math] возьмем язык, состоящий из всех слов. Тогда получится, что язык [math] L_1 \backslash L_2 [/math] это [math] \bar{L_2} [/math]. Про язык [math] \bar{L_2} [/math] мы знаем, что он перечислим не всегда, следовательно и язык [math] L_1 \backslash L_2 [/math] также не всегда перечислим.
[math]\triangleleft[/math]