Иерархия Хомского формальных грамматик — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Источники информации)
(См. также)
 
Строка 94: Строка 94:
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
* [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|Разрешимые (рекурсивные) языки]]
+
* [[Правоконтекстные грамматики, эквивалентность автоматам]]
 
* [[Возможность_порождения_формальной_грамматикой_произвольного_перечислимого_языка|Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка]]
 
* [[Возможность_порождения_формальной_грамматикой_произвольного_перечислимого_языка|Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка]]
  

Текущая версия на 12:39, 11 марта 2018

Определение:
Иерархия Хомского (англ. Chomsky hierarchy) — классификация формальных грамматик и задаваемых ими языков, согласно которой они делятся на 4 класса по их условной сложности.

Класс 0[править]

К нулевому классу относятся все формальные грамматики. Элементы этого класса называются неограниченными грамматиками (англ. unrestricted grammars), поскольку на них не накладывается никаких ограничений. Они задают все языки, которые могут быть распознаны машиной Тьюринга. Эти языки также известны как рекурсивно перечислимые (англ. recursively enumerable).

Правила можно записать в виде:

[math]\alpha \rightarrow \beta[/math], где [math]\alpha[/math] — любая непустая цепочка, содержащая хотя бы один нетерминальный символ, а [math]\beta[/math] — любая цепочка символов из алфавита.

Практического применения в силу своей сложности такие грамматики не имеют.

Пример[править]

Продукции:

[math] S \rightarrow aBcc \\ B \rightarrow A \\ BAA \rightarrow d \\ Ac \rightarrow B \\ A \rightarrow AAA\ |\ dB \\ [/math]

Выведем в данной грамматике строку [math]addd[/math]:

[math]\boldsymbol{S} \Rightarrow a\boldsymbol{B}cc \Rightarrow a\boldsymbol{Ac}c \Rightarrow a\boldsymbol{B}c \Rightarrow a\boldsymbol{Ac} \Rightarrow a\boldsymbol{B} \Rightarrow a\boldsymbol{A} \Rightarrow ad\boldsymbol{B} \Rightarrow ad\boldsymbol{A} \Rightarrow ad\boldsymbol{A}AA \Rightarrow add\boldsymbol{BAA} \Rightarrow addd[/math]

Класс 1[править]

Первый класс представлен неукорачивающими и контекстно-зависимыми грамматиками.

Определение:
Неукорачивающая грамматика (англ. noncontracting grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]\alpha\rightarrow\beta[/math], где [math]\alpha , \beta \in \{\Sigma\cup N\}^{+}[/math] и [math]|\alpha| \leqslant |\beta|[/math] (возможно правило [math]S \rightarrow \varepsilon[/math], но тогда [math]S[/math] не встречается в правых частях правил).


Определение:
Контекстно-зависимая грамматика (англ. context-sensitive grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]\alpha A \beta\rightarrow\alpha\gamma\beta[/math], где [math]\alpha , \beta \in \{\Sigma\cup N\}^{*}[/math], [math]A \in N[/math] и [math]\gamma \in \{\Sigma\cup N\}^{+}[/math] (возможно правило [math]S \rightarrow \varepsilon[/math], но тогда [math]S[/math] не встречается в правых частях правил).

Языки, заданные этими грамматиками, распознаются с помощью линейно ограниченного автомата (англ. linear bounded automaton) (недетерминированная машина Тьюринга, чья лента ограничена константой, зависящей от длины входа.)

Известно, что неукорачивающие грамматики эквивалентны контекстно-зависимым.

Пример[править]

[math]L=\{w \in \Sigma^* \mid w = 0^n1^n2^n, n \geqslant 1\}[/math]

Продукции:

[math] S \rightarrow 012 \\ S \rightarrow 0AS2 \\ A0 \rightarrow 0A \\ A1 \rightarrow 11 [/math]

Класс 2[править]

Второй класс составляют контекстно-свободные грамматики, которые задают контекстно-свободные языки. Эти языки распознаются с помощью автоматов с магазинной памятью.

Определение:
Контекстно-свободная грамматика (англ. context-free grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]A \rightarrow\beta[/math], где [math]A\in N [/math], [math]\beta \in \{\Sigma \cup N\}^{+}[/math].

То есть грамматика допускает появление в левой части правила только одного нетерминального символа.

Пример[править]

[math]L=\{w \in \Sigma^* \mid w = w^R\}[/math] (язык палиндромов).

Продукции: [math]S\rightarrow\alpha S\alpha\,|\,\alpha\,|\,\varepsilon, \alpha \in \Sigma[/math]

Класс 3[править]

К третьему типу относятся автоматные или регулярные грамматики (англ. regular grammars) — самые простые из формальных грамматик, которые задают регулярные языки. Они являются контекстно-свободными, но с ограниченными возможностями.

Все регулярные грамматики могут быть разделены на два эквивалентных класса следующего вида:

Определение:
Леволинейная грамматика (англ. left-regular grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]A \rightarrow B\gamma[/math] или [math]A \rightarrow \gamma[/math], где [math]\gamma \in \Sigma, A, B \in N[/math].


Определение:
Праволинейная грамматика (англ. right-regular grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]A \rightarrow \gamma B[/math]; или [math]A \rightarrow \gamma[/math], где [math]\gamma \in \Sigma, A, B \in N[/math].

Оба вида задают одинаковые языки. При этом если правила леволинейной и праволинейной грамматик объединить, то язык уже не обязан быть регулярным.

Также можно показать, что множество языков, задаваемых праволинейными грамматиками, совпадает со множеством языков, задаваемых конечными автоматами.

Пример[править]

[math]L[/math] для регулярного выражения [math]a^*bc^*[/math].

Продукции:

[math] S \rightarrow aS\ |\ bA \\ A \rightarrow \varepsilon\ |\ cA [/math]

См. также[править]

Источники информации[править]