Иерархия Хомского формальных грамматик — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Класс 2)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Иерархия Хомского''' классификация [[формальные грамматики|формальных грамматик]] и [[формальные грамматики|задаваемых ими языков]], согласно которой они делятся на 4 класса по их условной сложности.
+
'''Иерархия Хомского''' {{---}} классификация [[формальные грамматики|формальных грамматик]] и [[формальные грамматики|задаваемых ими языков]], согласно которой они делятся на 4 класса по их условной сложности.
 
}}
 
}}
 
== Класс 0 ==
 
== Класс 0 ==
Строка 11: Строка 11:
  
 
Практического применения в силу своей сложности такие грамматики не имеют.
 
Практического применения в силу своей сложности такие грамматики не имеют.
 +
 +
===Пример===
 +
Терминалы: {a, c, d};
 +
 +
Нетерминалы: {S, A, B};
 +
 +
Продукции:
 +
 +
<tex>
 +
S \rightarrow aBc \\
 +
aB \rightarrow cA \\
 +
Ac \rightarrow d
 +
</tex>
  
 
== Класс 1 ==
 
== Класс 1 ==
Строка 26: Строка 39:
 
}}
 
}}
  
Языки, заданные этими грамматиками, распознаются с помощью '''линейного ограниченного автомата''' (англ. ''linear bounded automaton'') (недетерминированная машина Тьюринга, чья лента ограничена константой, зависящей от длины входа.)
+
Языки, заданные этими грамматиками, распознаются с помощью '''линейно ограниченного автомата''' (англ. ''linear bounded automaton'') (недетерминированная машина Тьюринга, чья лента ограничена константой, зависящей от длины входа.)
  
 
Как будет показано [[Неукорачивающие и контекстно-зависимые грамматики, эквивалентность|далее]], неукорачивающие грамматики эквивалентны контекстно-зависимым.
 
Как будет показано [[Неукорачивающие и контекстно-зависимые грамматики, эквивалентность|далее]], неукорачивающие грамматики эквивалентны контекстно-зависимым.
  
 
===Пример===
 
===Пример===
Язык <tex>0^n1^n2^n</tex>.
+
Язык <tex>L=\{w \in \Sigma^* | w = 0^n1^n2^n, n \ge 1\}</tex>
  
<tex>\Sigma = \{0, 1, 2\}</tex>;
+
Терминалы: <tex>\{0, 1, 2\}</tex>;
 +
 
 +
Нетерминалы: <tex>\{S, A\}</tex>;
 +
 
 +
Продукции:
  
 
<tex>
 
<tex>
 
S \rightarrow 012 \\
 
S \rightarrow 012 \\
S \rightarrow 0TS2 \\
+
S \rightarrow 0AS2 \\
T0 \rightarrow 0T \\  
+
A0 \rightarrow 0A \\  
T1 \rightarrow 11  
+
A1 \rightarrow 11  
 
</tex>
 
</tex>
  
Строка 53: Строка 70:
  
 
===Пример===
 
===Пример===
'''Язык палиндромов'''. Задаётся формулой <tex>L=\{w \in \Sigma^* | w = w^R\}</tex>
+
Язык <tex>L=\{w \in \Sigma^* | w = w^R\}</tex> (язык палиндромов).
  
 
Терминалы: буквы алфавита <tex>\Sigma</tex>;
 
Терминалы: буквы алфавита <tex>\Sigma</tex>;
  
Нетерминал: <tex>S</tex>;
+
Нетерминалы: <tex>S</tex>;
  
 
Продукции: <tex>S\rightarrow\alpha S\alpha\,|\,\alpha\,|\,\varepsilon, \alpha \in \Sigma</tex>;
 
Продукции: <tex>S\rightarrow\alpha S\alpha\,|\,\alpha\,|\,\varepsilon, \alpha \in \Sigma</tex>;
  
Начальный нетерминал {{---}} <tex>S</tex>.
+
== Класс 3 ==
 +
К третьему типу относятся '''автоматные''' или '''регулярные грамматики''' (англ. ''regular grammars'') {{---}} самые простые из формальных грамматик, которые задают [[Регулярные_языки:_два_определения_и_их_эквивалентность|регулярные языки]]. Они являются контекстно-свободными, но с ограниченными возможностями.
  
== Класс 3 ==
+
Все регулярные грамматики могут быть разделены на два эквивалентных класса следующего вида:
Элементами третьего класса являются '''праволинейные (автоматные)''' грамматики.
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Леволинейная грамматика''' (англ. ''left-regular grammar'') {{---}} это формальная грамматика, всякое правило из <tex>P</tex> которой имеет вид <tex>A \rightarrow B\gamma</tex> или <tex>A \rightarrow \gamma</tex>, где <tex>\gamma \in \Sigma, A, B \in N</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Праволинейная грамматика''' (англ. ''right-regular grammar'') {{---}} это формальная грамматика, всякое правило из <tex>P</tex> которой имеет вид <tex>A \rightarrow \gamma B</tex>; или <tex>A \rightarrow \gamma</tex>, где <tex>\gamma \in \Sigma, A, B \in N</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Оба вида задают одинаковые языки. При этом если правила леволинейной и праволинейной грамматик объединить, то язык будет уже не обязан быть регулярным.
 +
 
 +
Эти языки распознаются с помощью [[Детерминированные конечные автоматы|конечных автоматов]].
  
К третьему типу относятся [[регулярные грамматики]] (автоматные) — самые простые из формальных грамматик. Они являются контекстно-свободными, но с ограниченными возможностями.
+
===Пример===
 +
Язык <tex>L</tex> для регулярного выражения <tex>a^*bc^*</tex>.
  
Все регулярные грамматики могут быть разделены на два эквивалентных класса, которые для грамматики вида III будут иметь правила следующего вида:
+
Терминалы: {a, b, c};
* <tex>A \rightarrow B\gamma</tex> или <tex>A \rightarrow \gamma</tex>, где <tex>\gamma \in V_T^*, A, B \in V_N</tex> (для леволинейных грамматик).
 
* <tex>A \rightarrow \gamma B</tex>; или <tex>A \rightarrow \gamma</tex>, где <tex>\gamma \in V_T^*, A, B \in V_N</tex> (для праволинейных грамматик).
 
Регулярные грамматики применяются для описания простейших конструкций: [[идентификатор]]ов, [[Строковый тип|строк]], [[Константа (программирование)|констант]], а также [[язык ассемблера|языков ассемблера]], [[командный процессор|командных процессоров]] и др.
 
  
Type-3 grammars (regular grammars) generate the regular languages. Such a grammar restricts its rules to a single nonterminal on the left-hand side and a right-hand side consisting of a single terminal, possibly followed by a single nonterminal (right regular). Alternatively, the right-hand side of the grammar can consist of a single terminal, possibly preceded by a single nonterminal (left regular); these generate the same languages – however, if left-regular rules and right-regular rules are combined, the language need no longer be regular. The rule S \rightarrow \epsilon is also allowed here if S does not appear on the right side of any rule. These languages are exactly all languages that can be decided by a finite state automaton. Additionally, this family of formal languages can be obtained by regular expressions. Regular languages are commonly used to define search patterns and the lexical structure of programming languages.
+
Нетерминалы: {S, A};
  
{{Определение
+
Продукции:
|definition =
 
'''Праволинейные (автоматные) грамматики''' — это формальные грамматики, всякое правило из <tex>P</tex> которых имеет вид <tex>A \rightarrow tB</tex> либо <tex>A \rightarrow t</tex>, где <tex>A\in N</tex>,<tex>B\in N</tex>, <tex>t\in \Sigma </tex>.}}
 
  
== Распознавание ==
+
<tex>
Для языков, которые задаются грамматиками из иерархии Хомского, есть машины, которые их распознают. Следующая таблица сопоставляет классы иерархии Хомского, языки, которые ими задаются, и машины, которые распознают эти языки.
+
S \rightarrow aS\ |\ bA \\
{| class="wikitable"
+
A \rightarrow \varepsilon\ |\ cA
|-
+
</tex>
! Грамматика
 
! Языки
 
! Машина
 
|-
 
| Класс 0
 
| [[ Перечислимые языки | рекурсивно перечислимые ]]
 
| [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 машина Тьюринга]
 
|-
 
| Класс 1
 
| контекстно-зависимые
 
| [http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_bounded_automaton ЛПА]
 
|-
 
| Класс 2
 
| контекстно-свободные
 
| [[Автоматы с магазинной памятью|автоматы с магазинной памятью]]
 
|-
 
| Класс 3
 
| [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярные]]
 
| [[Детерминированные конечные автоматы|конечные автоматы]]
 
|}
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
 
* [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|Разрешимые (рекурсивные) языки]]
 
* [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|Разрешимые (рекурсивные) языки]]
 
* [[Возможность_порождения_формальной_грамматикой_произвольного_перечислимого_языка|Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка]]
 
* [[Возможность_порождения_формальной_грамматикой_произвольного_перечислимого_языка|Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка]]
 +
* [[wikipedia:Linear_bounded_automaton|Wikipedia {{---}} Linear bounded automaton]]
  
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==

Версия 22:32, 16 ноября 2014

Определение:
Иерархия Хомского — классификация формальных грамматик и задаваемых ими языков, согласно которой они делятся на 4 класса по их условной сложности.

Класс 0

К нулевому классу относятся все формальные грамматики. Элементы этого класса называются неограниченными грамматиками (англ. unrestricted grammars), поскольку на них не накладывается никаких ограничений. Они задают все языки, которые могут быть распознаны машиной Тьюринга. Эти языки также известны как рекурсивно перечислимые (англ. recursively enumerable).

Правила можно записать в виде:

[math]\alpha \rightarrow \beta[/math], где [math]\alpha[/math] — любая непустая цепочка, содержащая хотя бы один нетерминальный символ, а [math]\beta[/math] — любая цепочка символов из алфавита.

Практического применения в силу своей сложности такие грамматики не имеют.

Пример

Терминалы: {a, c, d};

Нетерминалы: {S, A, B};

Продукции:

[math] S \rightarrow aBc \\ aB \rightarrow cA \\ Ac \rightarrow d [/math]

Класс 1

Первый класс представлен неукорачивающими и контекстно-зависимыми грамматиками.


Определение:
Неукорачивающая грамматика (англ. noncontracting grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]\alpha\rightarrow\beta[/math], где [math]\alpha , \beta \in \{\Sigma\cup N\}^{+}[/math] и [math]|\alpha|\leq|\beta|[/math] (возможно правило [math]S \rightarrow \varepsilon[/math], но тогда [math]S[/math] не встречается в правых частях правил).


Определение:
Контекстно-зависимая грамматика (англ. context-sensitive grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]\alpha A \beta\rightarrow\alpha\gamma\beta[/math], где [math]\alpha , \beta \in \{\Sigma\cup N\}^{*}[/math], [math]A \in N[/math] и [math]\gamma \in \{\Sigma\cup N\}^{+}[/math] (возможно правило [math]S \rightarrow \varepsilon[/math], но тогда [math]S[/math] не встречается в правых частях правил).


Языки, заданные этими грамматиками, распознаются с помощью линейно ограниченного автомата (англ. linear bounded automaton) (недетерминированная машина Тьюринга, чья лента ограничена константой, зависящей от длины входа.)

Как будет показано далее, неукорачивающие грамматики эквивалентны контекстно-зависимым.

Пример

Язык [math]L=\{w \in \Sigma^* | w = 0^n1^n2^n, n \ge 1\}[/math]

Терминалы: [math]\{0, 1, 2\}[/math];

Нетерминалы: [math]\{S, A\}[/math];

Продукции:

[math] S \rightarrow 012 \\ S \rightarrow 0AS2 \\ A0 \rightarrow 0A \\ A1 \rightarrow 11 [/math]

Класс 2

Второй класс составляют контекстно-свободные грамматики, которые задают контекстно-свободные языки. Эти языки распознаются с помощью автоматов с магазинной памятью.


Определение:
Контекстно-свободная грамматика (англ. context-free grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]A \rightarrow\beta[/math], где [math]A\in N [/math], [math]\beta \in \{\Sigma \cup N\}^{+}[/math].


То есть грамматика допускает появление в левой части правила только нетерминального символа.

Пример

Язык [math]L=\{w \in \Sigma^* | w = w^R\}[/math] (язык палиндромов).

Терминалы: буквы алфавита [math]\Sigma[/math];

Нетерминалы: [math]S[/math];

Продукции: [math]S\rightarrow\alpha S\alpha\,|\,\alpha\,|\,\varepsilon, \alpha \in \Sigma[/math];

Класс 3

К третьему типу относятся автоматные или регулярные грамматики (англ. regular grammars) — самые простые из формальных грамматик, которые задают регулярные языки. Они являются контекстно-свободными, но с ограниченными возможностями.

Все регулярные грамматики могут быть разделены на два эквивалентных класса следующего вида:

Определение:
Леволинейная грамматика (англ. left-regular grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]A \rightarrow B\gamma[/math] или [math]A \rightarrow \gamma[/math], где [math]\gamma \in \Sigma, A, B \in N[/math].


Определение:
Праволинейная грамматика (англ. right-regular grammar) — это формальная грамматика, всякое правило из [math]P[/math] которой имеет вид [math]A \rightarrow \gamma B[/math]; или [math]A \rightarrow \gamma[/math], где [math]\gamma \in \Sigma, A, B \in N[/math].


Оба вида задают одинаковые языки. При этом если правила леволинейной и праволинейной грамматик объединить, то язык будет уже не обязан быть регулярным.

Эти языки распознаются с помощью конечных автоматов.

Пример

Язык [math]L[/math] для регулярного выражения [math]a^*bc^*[/math].

Терминалы: {a, b, c};

Нетерминалы: {S, A};

Продукции:

[math] S \rightarrow aS\ |\ bA \\ A \rightarrow \varepsilon\ |\ cA [/math]

См. также

Источники информации