Изменение размера оптимальной схемы при переходе к другому базису — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 2: Строка 2:
  
 
==Определение==
 
==Определение==
Размер схемы - количество функциональных элементов, необходимое для построения этой схемы.
+
Схемная сложность функции <math>~f</math> относительно базиса <math>~B</math>(обозначается <math>~size_B(f)</math>) - это минимальное количество функциональных элементов из набора <math>~B</math>, необходимое для реализации функции <math>~f</math> в базисе <math>~B</math>.
Схемная сложность функции <math>~f</math> относительно базиса <math>~B</math>(обозначается <math>~size_B(f)</math>) - минимальный размер схемы, вычисляющей функцию <math>~f</math>, собранной из функциональных элементов, принадлежащих базису <math>~B</math>.
 
  
 
==Теорема==
 
==Теорема==
Для любых базисов <math>~B_1</math>, <math>~B_2</math> и функции <math>~f</math> верно равенство <math>~size_{B_2}(f) \leq C_{(B_1,\;B_2)}size_{B_1}(f)</math>
+
Для любых базисов <math>~B_1</math>, <math>~B_2</math> и функции <math>~f</math> верно равенство <math>~size_{B_2}(f) \leq C_{(B_1,\;B_2)}size_{B_1}(f)</math>(константа C зависит только от базисов <math>~B_1</math> и <math>~B_2</math>.
  
 
==Доказательство==
 
==Доказательство==
Пусть базис <math>~B_2</math> состоит из функций <math>~g_1, g_2, ..., g_n</math>. Схемная сложность функции <math>~g_i</math> относительно базиса <math>~B_1</math> равна <math>~size_{B_1}(g_i)</math>. Иначе говоря, каждый функциональный элемент базиса <math>~B_2</math> мы собираем с помощью элементов из базиса <math>~B_1</math>. Тогда понятно, что в сумме мы затратим не более чем в <math>~C = \max_{i=1}^n size_{B_1}(g_i)</math> раз больше функциональных элементов, и <math>~C</math> зависит от выбранных базисов, но не зависит от формулы.
+
Пусть базис <math>~B_2</math> состоит из функций <math>~g_1, g_2, ..., g_n</math>. Схемная сложность функции <math>~g_i</math> относительно базиса <math>~B_1</math> равна <math>~size_{B_1}(g_i)</math>(по определению схемной сложности). Иначе говоря, каждый функциональный элемент базиса <math>~B_2</math> можно собрать с помощью элементов из базиса <math>~B_1</math>, затратив на это не более чем <math>~size_{B_1}(g_i)</math> элементов. Тогда понятно, что в сумме мы затратим не более чем в <math>~C = \max_{i=1}^n size_{B_1}(g_i)</math> раз больше функциональных элементов, и <math>~C</math> зависит только от выбранных базисов.

Версия 07:27, 15 октября 2010

Эта статья находится в разработке!

Определение

Схемная сложность функции [math]~f[/math] относительно базиса [math]~B[/math](обозначается [math]~size_B(f)[/math]) - это минимальное количество функциональных элементов из набора [math]~B[/math], необходимое для реализации функции [math]~f[/math] в базисе [math]~B[/math].

Теорема

Для любых базисов [math]~B_1[/math], [math]~B_2[/math] и функции [math]~f[/math] верно равенство [math]~size_{B_2}(f) \leq C_{(B_1,\;B_2)}size_{B_1}(f)[/math](константа C зависит только от базисов [math]~B_1[/math] и [math]~B_2[/math].

Доказательство

Пусть базис [math]~B_2[/math] состоит из функций [math]~g_1, g_2, ..., g_n[/math]. Схемная сложность функции [math]~g_i[/math] относительно базиса [math]~B_1[/math] равна [math]~size_{B_1}(g_i)[/math](по определению схемной сложности). Иначе говоря, каждый функциональный элемент базиса [math]~B_2[/math] можно собрать с помощью элементов из базиса [math]~B_1[/math], затратив на это не более чем [math]~size_{B_1}(g_i)[/math] элементов. Тогда понятно, что в сумме мы затратим не более чем в [math]~C = \max_{i=1}^n size_{B_1}(g_i)[/math] раз больше функциональных элементов, и [math]~C[/math] зависит только от выбранных базисов.