Изменения

<br>Более формально, <tex> \exists </tex> биекция <tex> f:A \rightarrow B : \forall \, a_1,a_2 \in A : a_1 \leqslant a_2 \Leftrightarrow f(a_1)\leqslant f(a_1a_2)</tex>

|statement=Конечные [[Отношение порядка|линейно упорядоченные ]] множества из одинакового числа элементов изоморфны.|proof=Конечное линейно упорядоченное множество всегда имеет наименьший элемент. Возьмём любой элемент <tex>x_1</tex>. Если он не наименьший, возьмём любой меньший него <tex>x_2</tex>. Если и он не наименьший, ещё меньший — и так далее. Получим убывающую последовательность <tex> x_1 > x_2 > \dots </tex> , которая рано или поздно должна оборваться, т.к. так как множество конечное. Присвоим наименьшему элементу номер <tex> 1</tex>. Из оставшихся снова выберем наименьший элемент и присвоим ему номер <tex>2</tex>. Будем повторять эту операцию, пока в множестве не останется непомеченных элементов. Таким образом, мы доказали, что любое такое множество из <tex> n </tex> элементов изоморфно множеству <tex> \{ 1,2,\dots,n \} </tex>. Значит, между двумя конечными линейно упорядоченными множествами из одинакового числа элементов можно построить биекцию.

плотным, если в нём нет соседних элементов (то есть между любыми двумя есть третий). </ref> [[Отношение порядка|линейно упорядоченных ]] множества без наибольшего и наименьшего элементов изоморфны.|proof=Пусть <tex> A </tex> и <tex> B </tex> — данные множества. Будем строить соответствие пошагово. Пусть мы сделали некоторое соответствие для подмножеств <tex> A_n \subset A </tex> и <tex> B_n \subset B </tex> из <tex> n </tex> элементов. Возьмем любой элемент одного из множеств (для определенности <tex> A </tex>), который не вошел в <tex> A_n </tex>. Посмотрим, в каком отношении он находится со всеми элементами из <tex> A_n </tex>. Он оказался либо наибольшим элементом, либо наименьшим элементом, либо стоящим между некоторыми элементами <tex> a_i </tex> и <tex> a_{i+1} </tex>. Найдем элемент в <tex> B </tex>, находящийся в таком же отношении со всеми элементами <tex> B_n </tex>. Мы можем это сделать, т.к. так как <tex> B </tex> — плотное множество без наибольшего и наименьшего элементов. Будем считать эти два элемента эквивалентными. Тогда, мы научились получать из соответствия для <tex> n </tex> элементов соответствие для <tex> n+1 </tex> элемента. Чтобы в пределе получить соответствие для всех элементов, воспользуемся счетностью множеств. Пронумеруем все элементы и на каждом четном шаге будем выбирать еще не взятый элемент из множества <tex> A </tex> с наименьшим номером, а на нечетном — из <tex> B </tex>.}} == Автоморфизм == {{Определение|definition=Взаимно однозначное отображение частично упорядоченного множества в себя, являющееся изоморфизмом, называют '''автоморфизмом'''.

*Любые равные конечные подмножества натуральных чисел изоморфны по [[#th1|теореме 1]].*Множество рациональных чисел некоторого интервала <tex> (a,b) </tex> и множество <tex> \mathbb{Q } </tex> изоморфны. Доказательство по [[#th2|теореме 2]].*Тождественное отображение всегда является автоморфизмом.*Не существует автоморфизма упорядоченного множества <tex> \mathbb{N} </tex> натуральных чисел, отличного от тождественного. Для <tex> \mathbb{Z} </tex> это утверждение уже, очевидно, неверно.*Для неотрицательных вещественных чисел операция извлечения корня является автоморфизмом.

 ==Примeчания==<references/>* [[wikipedia:ru:Линейно_упорядоченное_множество| Wikipedia — Линейно упорядоченное множество]]