Иммунные и простые множества

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Множество А называется имунным, если А - бесконечное, для любого бесконечного перечислимого B, [math]B \not \subset A[/math].


Определение:
Множество A называется простым, если A - перечислимое, бесконечное, и дополнение A - имунно.


Теорема:
Существует простое множество.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим все программы, каждая из них задает некоторый перечислимый язык, причем каждому перечислимому языку соответствует какая-то программа - его перечислитель.

Напишем следующую программу q:

q:
 for [math](TL = 1\ \ldots +\infty)[/math]
  for [math](i = 1\ \ldots TL)[/math]
   запустить [math]i[/math]-ую в главной нумерации программу на [math]TL[/math] шагов
   напечатать первый [math]x[/math], который вывела эта программа, такой что [math]x \geqslant 2 i[/math]


Множество E(q), которое перечисляет эта программа:

  • перечислимо;
  • бесконечно (Существует бесконечное количество бесконечных множеств. В каждом из них есть элемент [math]x \geqslant 2 * i[/math], где i - номер программы перечисляющей это множество.)

Дополнение этого множества [math]\overline{E(q)}[/math]:

  • бесконечно. Для первых k слов, множеству E(q) принадлежат не более [math]\frac{k}{2}[/math].
  • для любого перечислимого множества B, существует его элемент принадлежащий [math]E(q)[/math], и следовательно не принадлежащий [math]\overline{E(q)}[/math], [math]\overline{E(q)} \not \subset A[/math]
Таким образом [math]\overline{E(q)}[/math] --- имунно, а [math]E(q)[/math] --- простое.
[math]\triangleleft[/math]