Иммунные и простые множества

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Множество целых чисел [math]A[/math] называется иммунным, если [math]A[/math] — бесконечное, для любого бесконечного перечислимого множества [math]B[/math], [math]B \not \subset A[/math].


Определение:
Множество целых чисел [math]A[/math] называется простым, если [math]A[/math] — перечислимое, бесконечное, и [math]\overline{A}[/math] — иммунное.


Теорема:
Существует простое множество.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим все программы. Для некоторого перечислимого языка, какая-то из них является его перечислителем.

Рассмотрим программу [math]q[/math]:

[math]q[/math]:
 for [math](TL = 1\ \ldots +\infty)[/math]
  for [math](i = 1\ \ldots TL)[/math]
   запустить [math]i[/math]-ую в главной нумерации программу на [math]TL[/math] шагов
   напечатать первый [math]x[/math], который вывела эта программа, такой что [math]x \geqslant 2 i[/math]


Множество [math]E(q)[/math], которое перечисляет эта программа:

  • перечислимо.
  • бесконечно. Для любого [math]i[/math] существует бесконечное множество с номером перечислителя большим [math]i[/math], и в этом множестве есть элемент [math]x \geqslant 2 * i[/math].

Дополнение этого множества [math]\overline{E(q)}[/math]:

  • бесконечно. Для первых [math]k[/math] слов, множеству [math]E(q)[/math] принадлежат не более [math]\frac{k}{2}[/math].
  • для любого перечислимого множества [math]B[/math], существует его элемент принадлежащий [math]E(q)[/math], и следовательно не принадлежащий [math]\overline{E(q)}[/math], отсюда следует [math]B \not \subset \overline{E(q)}[/math]
Таким образом [math]\overline{E(q)}[/math] — иммунно, а [math]E(q)[/math] — простое.
[math]\triangleleft[/math]