Редактирование: Инвариантные подпространства

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 4: Строка 4:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition='''Характеристический полином линейного оператора''': <br>
 
|definition='''Характеристический полином линейного оператора''': <br>
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \to X</tex> {{---}} линейный оператор.<br>
+
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \to X</tex> - линейный оператор.<br>
 
Рассмотрим <tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda) = det(\mathcal{A} - \lambda I) = det(A - \lambda E)</tex><br>
 
Рассмотрим <tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda) = det(\mathcal{A} - \lambda I) = det(A - \lambda E)</tex><br>
 
<tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> называется характеристическим полиномом линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
 
<tex>{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> называется характеристическим полиномом линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
Строка 20: Строка 20:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>L</tex> называется инвариантным подпространством линейного оператора <tex>{\mathcal{A}}: X \to X</tex>, если <tex>\forall x \in L: \mathcal{A}x \in L</tex>
+
|definition=<tex>L</tex> называется инвариантным подпространством линейного оператора <tex>{\mathcal{A}}: X \to X</tex>, если <tex>\forall x \in L</tex>
 
(т.е. <tex>{\mathcal{A}}(L) \subset L</tex>)
 
(т.е. <tex>{\mathcal{A}}(L) \subset L</tex>)
 
}}
 
}}
  
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
# Пусть есть <tex>X</tex>, <tex>\{0_x\}</tex> — инвариантное подпространство для <tex>\forall \mathcal{A} : X \to X</tex><br>
+
# Пусть есть <tex>X</tex>, <tex>\{0_x\}</tex> — инвариантное подпространство для <tex>\forall \mathcal{A} : X \to X</tex>
# Пусть <tex dpi = 145>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> — базис <tex>X</tex>; пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {
+
# Пусть <tex dpi = 145>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> — базис <tex>X</tex>; пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {\alpha}_{1} & \cdots & \cdots & \cdots \\
\lambda}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
+
\vdots & {\alpha}_{2} & \cdots & \cdots \\
0 & {\lambda}_{2} & \cdots & 0 \\
+
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
+
\cdots & \cdots & \cdots & {\alpha}_{n} \\
0 & 0 & \cdots & {\lambda}_{n} \\
 
 
\end{pmatrix}
 
\end{pmatrix}
</tex> <br> Тогда: <tex>L_i =</tex> л.о. <tex>\{e_i\}</tex> - инв. п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>; <tex>\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i</tex>; <tex>\dim L_i = 1</tex><br>
+
</tex> <br> Тогда: <tex>L_i =</tex> л.о. <tex>\{e_i\}</tex> - инв. п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>; <tex>\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i</tex>; <tex>dim L_i = 1</tex>
# <tex>X = L_1 \dotplus L_2;\  \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X</tex> <br><br> <tex>A = \begin{pmatrix}  
+
# <tex>X = L_1 + L_2;\  \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X</tex> <br><br> <tex>A = \begin{pmatrix}  
 
1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
 
1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
 
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\  
 
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\  
Строка 40: Строка 39:
 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} L_1, L_2 - </tex>инв. п.п. <tex>L_1 =</tex> лин.об <tex>\{e_1,...,e_k\}, L_2 = </tex> лин.об <tex>\{e_{k+1},...,e_n\}</tex>
+
\end{pmatrix} L_1, L_2 - </tex>инв. п.п. <tex>L_1 = \{e_1,...,e_k\}, L_2 = \{e_{k+1},...,e_n\}</tex>
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: