Инвариантные подпространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры)
(Примеры)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 1 участника)
Строка 20: Строка 20:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>L</tex> называется инвариантным подпространством линейного оператора <tex>{\mathcal{A}}: X \to X</tex>, если <tex>\forall x \in L</tex>
+
|definition=<tex>L</tex> называется инвариантным подпространством линейного оператора <tex>{\mathcal{A}}: X \to X</tex>, если <tex>\forall x \in L: \mathcal{A}x \in L</tex>
 
(т.е. <tex>{\mathcal{A}}(L) \subset L</tex>)
 
(т.е. <tex>{\mathcal{A}}(L) \subset L</tex>)
 
}}
 
}}
Строка 26: Строка 26:
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
 
# Пусть есть <tex>X</tex>, <tex>\{0_x\}</tex> — инвариантное подпространство для <tex>\forall \mathcal{A} : X \to X</tex><br>
 
# Пусть есть <tex>X</tex>, <tex>\{0_x\}</tex> — инвариантное подпространство для <tex>\forall \mathcal{A} : X \to X</tex><br>
# Пусть <tex dpi = 145>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> — базис <tex>X</tex>; пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {\alpha}_{1} & \cdots & \cdots & \cdots \\
+
# Пусть <tex dpi = 145>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> — базис <tex>X</tex>; пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} {
\vdots & {\alpha}_{2} & \cdots & \cdots \\
+
\lambda}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+
0 & {\lambda}_{2} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & {\alpha}_{n} \\
+
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
 +
0 & 0 & \cdots & {\lambda}_{n} \\
 
\end{pmatrix}
 
\end{pmatrix}
 
</tex> <br> Тогда: <tex>L_i =</tex> л.о. <tex>\{e_i\}</tex> - инв. п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>; <tex>\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i</tex>; <tex>\dim L_i = 1</tex><br>
 
</tex> <br> Тогда: <tex>L_i =</tex> л.о. <tex>\{e_i\}</tex> - инв. п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>; <tex>\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i</tex>; <tex>\dim L_i = 1</tex><br>
# <tex>X = L_1 + L_2;\  \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X</tex> <br><br> <tex>A = \begin{pmatrix}  
+
# <tex>X = L_1 \dotplus L_2;\  \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X</tex> <br><br> <tex>A = \begin{pmatrix}  
 
1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
 
1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
 
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\  
 
0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\  
Строка 39: Строка 40:
 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} L_1, L_2 - </tex>инв. п.п. <tex>L_1 = \{e_1,...,e_k\}, L_2 = \{e_{k+1},...,e_n\}</tex>
+
\end{pmatrix} L_1, L_2 - </tex>инв. п.п. <tex>L_1 =</tex> лин.об <tex>\{e_1,...,e_k\}, L_2 = </tex> лин.об <tex>\{e_{k+1},...,e_n\}</tex>
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 21:39, 12 июня 2013

Основные теоремы и определения[править]

Определения[править]

Определение:
Характеристический полином линейного оператора:

Пусть [math]\mathcal{A}: X \to X[/math] — линейный оператор.
Рассмотрим [math]{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda) = det(\mathcal{A} - \lambda I) = det(A - \lambda E)[/math]

[math]{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] называется характеристическим полиномом линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math]


Лемма:
[math]{\mathcal{X}}_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] и все его компоненты — инварианты линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math] \mathcal{X}_\mathcal{A}(\lambda) = det||\alpha_k^i - \lambda\delta_k^i|| = \sum\limits_{(j_1,j_2,...,j_n)} (-1)^{[j_1,j_2,...,j_n]} (\alpha_{j_1}^1 - \lambda\delta_{j_1}^1)(\alpha_{j_2}^2 - \lambda\delta_{j_2}^2)...(\alpha_{j_n}^n - \lambda\delta_{j_n}^n) = (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1}\lambda^{n-1}{(\alpha_1^1 + \alpha_2^2 + ... + \alpha_n^n)} + ... + (-1)^0\lambda^0det\mathcal{A} [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]L[/math] называется инвариантным подпространством линейного оператора [math]{\mathcal{A}}: X \to X[/math], если [math]\forall x \in L: \mathcal{A}x \in L[/math] (т.е. [math]{\mathcal{A}}(L) \subset L[/math])


Примеры[править]

  1. Пусть есть [math]X[/math], [math]\{0_x\}[/math] — инвариантное подпространство для [math]\forall \mathcal{A} : X \to X[/math]
  2. Пусть [math]{\{e_i\}}_{i=1}^n[/math] — базис [math]X[/math]; пусть [math]\mathcal{A} \leftrightarrow A = \begin{pmatrix} { \lambda}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {\lambda}_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {\lambda}_{n} \\ \end{pmatrix} [/math]
    Тогда: [math]L_i =[/math] л.о. [math]\{e_i\}[/math] - инв. п.п. [math]\mathcal{A}[/math]; [math]\mathcal{A}e_i = \lambda_i e_i \in L_i[/math]; [math]\dim L_i = 1[/math]
  3. [math]X = L_1 \dotplus L_2;\ \mathcal{A} = \mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}: X \to X[/math]

    [math]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} L_1, L_2 - [/math]инв. п.п. [math]L_1 =[/math] лин.об [math]\{e_1,...,e_k\}, L_2 = [/math] лин.об [math]\{e_{k+1},...,e_n\}[/math]