Интеграл Фейера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показано 15 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Интеграл Дирихле|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|>>]]
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition = Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье:
 
|definition = Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье:
<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_n(f,x)</tex>.
+
<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_k(f,x)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt = \int\limits_{Q}f(x)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>
+
Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\int\limits_{Q}f(x+t)D_k(t)dt = \int\limits_{Q}f(x+t)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = '''Ядро Фейера''' - <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex>.
+
|definition = '''Ядро Фейера''' {{---}} <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.
+
Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_n(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>, что принято называть '''интегралом Фейера'''. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сходимости сумм Фейера в индивидуальной точке <tex>x</tex>. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex dpi="150">\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>
+
<tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex dpi="150">\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{ \sin{(k+\frac{1}{2})t}} {\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{((k+\frac{1}{2})t)}\sin{\frac{t}{2}})=</tex>  
+
<tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{ \sin{(k+\frac{1}{2})t}} {\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin^2{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{((k+\frac{1}{2})t)}\sin{\frac{t}{2}})=</tex>
<tex dpi="150"> \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex>
+
<tex> \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin^{2} \frac{t}{2} }\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=</tex> <tex>\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 25: Строка 25:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''.
+
|definition=
 +
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''.
 
}}
 
}}
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement= <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> при больших <tex>n</tex>.
+
|statement=
 +
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> при больших <tex>n</tex>.
 
|proof=  
 
|proof=  
 
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \int\limits_{0}^{\pi} \frac {|\sin (n+ \frac12)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{\sin t} dt</tex>
 
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \int\limits_{0}^{\pi} \frac {|\sin (n+ \frac12)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{\sin t} dt</tex>
Строка 36: Строка 38:
 
Разобьем интеграл на две части, <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} </tex>:
 
Разобьем интеграл на две части, <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} </tex>:
  
<tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n + 1) |\sin t|}{t} dt \le const </tex>.
+
<tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n+1) t}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} (2n+1) dt</tex> <tex> \le const </tex>.
  
 
Оценка сверху: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n </tex>.
 
Оценка сверху: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n </tex>.
  
Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 _{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \sim \ln n </tex>.
+
Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt</tex>.
 +
 
 +
Здесь <tex> \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt \sim \ln n</tex>, а
 +
<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \underset{u = (2n + 1)t}{=} \int\limits_{\pi}^{\frac{(2n + 1)\pi}{2}} \frac {\cos 2u}{u} du \xrightarrow[n \to \infty]{} const </tex> (см. [[Несобственные_интегралы#Dirichlet|несобственные интегралы из первого семестра]]).
  
 
Отсюда получаем требуемое.
 
Отсюда получаем требуемое.
Строка 47: Строка 52:
 
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.
 
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.
  
Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_n</tex>. Для расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S</tex> по методу средних арифметических.  
+
Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k</tex>. Для расходящихся рядов можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись [[Суммирование_расходящихся_рядов#правила суммирования|свойства перманентности и эффективности]]. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = S</tex> по методу средних арифметических.  
 
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.
 
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.
 +
 +
[[Интеграл Дирихле|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|>>]]
 +
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 23:55, 25 июня 2012

<<>>


Определение:
Определим так называемые суммы Фейера, как среднее арифметическое сумм Фурье: [math]\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_k(f,x)[/math].


Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: [math]\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\int\limits_{Q}f(x+t)D_k(t)dt = \int\limits_{Q}f(x+t)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt[/math]


Определение:
Ядро Фейера[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)[/math].


Пользуясь определением, запишем [math]\sigma_n(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt[/math], что принято называть интегралом Фейера. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по [math]Q[/math] ядро Фейера: [math]\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1[/math], то есть ядро Фейера нормированно [math]1[/math]. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу [math]\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt[/math] — основная формула для исследования сходимости сумм Фейера в индивидуальной точке [math]x[/math]. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.

Утверждение:
[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{ \sin{(k+\frac{1}{2})t}} {\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin^2{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{((k+\frac{1}{2})t)}\sin{\frac{t}{2}})=[/math]

[math] \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin^{2} \frac{t}{2} }\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=[/math] [math]\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Из этой формулы видно, что ядро Фейера всегда неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле.


Определение:
[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt[/math] называется константой Лебега.
Утверждение:
[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}[/math] при больших [math]n[/math].
[math]\triangleright[/math]

[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \int\limits_{0}^{\pi} \frac {|\sin (n+ \frac12)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{\sin t} dt[/math]

Так как на [math] [0; \frac{\pi}{2}] [/math] выполняется двойное неравенство [math] \frac{2}{\pi} t \le \sin t \le t [/math], то можно рассматривать [math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt [/math].

Разобьем интеграл на две части, [math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} [/math]:

[math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n+1) t}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} (2n+1) dt[/math] [math] \le const [/math].

Оценка сверху: [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n [/math].

Оценка снизу: [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt[/math].

Здесь [math] \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt \sim \ln n[/math], а [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \underset{u = (2n + 1)t}{=} \int\limits_{\pi}^{\frac{(2n + 1)\pi}{2}} \frac {\cos 2u}{u} du \xrightarrow[n \to \infty]{} const [/math] (см. несобственные интегралы из первого семестра).

Отсюда получаем требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.

Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n[/math], где [math]S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k[/math]. Для расходящихся рядов можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если [math]\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_k \to S[/math], то [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = S[/math] по методу средних арифметических. В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: [math]\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)[/math](с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.

<<>>