Интеграл с переменным верхним пределом — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(добавил доказательство, исправил недочеты)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
  
{{Определение
+
== Утверждение ==
|definition = Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье:
+
{{Утверждение
<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_n(f,x)</tex>.
+
|statement=
 +
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и <tex>m \leq f(x) \leq M</tex>. Тогда <tex>m \leq \frac1{b - a} \int\limits_a^b f \leq M</tex>
 +
|proof=
 +
По условию <tex>m \leq f \leq M</tex>. Проинтегрируем каждую часть:
 +
 
 +
<tex>\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a^b M</tex>.
 +
 
 +
Посчитаем значения крайних интегралов и поделим всё на <tex>b - a</tex>.
 +
 
 +
<tex>m \leq \frac1{b - a}\int\limits_a^b f \leq M</tex>.
 
}}
 
}}
  
Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt = \int\limits_{Q}f(x)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>
+
=== Следствие ===
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\exists c \in [a; b]: f(c) = \frac1{b - a}\int\limits_a^b f</tex>
 +
|proof=
 +
Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]} f(x)</tex>, <tex>M = \max\limits_{[a; b]} f(x)</tex>.
 +
 
 +
Тогда <tex>[m; M]</tex> {{---}} множество значений функции.
 +
 
 +
По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{b - a} \int\limits_a^b f\in [m; M]</tex> и в силу непрерывности <tex>f</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex> найдётся.
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = '''Ядро Фейера''' - <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex>.
+
|definition=
 +
Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.
 +
Такая функция называется ''интегралом с переменным верхним пределом''.
 
}}
 
}}
  
Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.
+
== Свойства ==
  
 +
=== №1 ===
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex dpi="150">\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex>
+
<tex>F</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
<tex dpi="150">\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\frac{1}{2}}t\sin{\frac{t}{2}})=</tex>  
+
Так как <tex> f </tex> ограничена (в силу [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства#utv1 |этого утверждения]]), то  <tex>\exists M: \ |f| \leq M</tex>.
<tex dpi="150"> \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex>
+
 
 +
Тогда <tex>|F(x + \Delta x) - F(x)| = \left|\int\limits_x^{x + \Delta x}f\right| \leqslant M \Delta x \Rightarrow F</tex> {{---}} непрерывна.
 
}}
 
}}
  
Из этой формулы видно, что ядро Фейера всегда неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле.
+
=== Теорема Барроу ===
 +
{{Теорема
 +
|author=Барроу
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>.
 +
 
 +
Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>.
 +
|proof=
 +
Приращение <tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx</tex>
 +
 
 +
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в точке <tex>x_0</tex> выполняется <tex>f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>
 +
 
 +
Рассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>. По первому утверждению получаем
 +
<tex>\forall |\Delta x| < \delta, \Delta x > 0: \quad
 +
f(x_0) - \varepsilon \leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f
 +
\leqslant
 +
f(x_0) + \varepsilon </tex>
  
{{Определение
+
Устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)</tex>
|definition = <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''.
 
 
}}
 
}}
 +
 +
==== Важное следствие ====
 +
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement= <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> при больших <tex>n</tex>.
+
|id = barrou_sl
|proof=  
+
|statement=
<tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \int\limits_{0}^{\pi} \frac {|\sin (n+ \frac12)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{\sin t} dt</tex>
+
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.
 +
|proof=
 +
<tex>F(x) = \int\limits_a^x f \Rightarrow F'(x) = f(x)</tex>
 +
 
 +
В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу <tex>F'(x) =f(x)</tex> {{---}} одна из первообразных.
  
Так как на <tex> [0; \frac{\pi}{2}] </tex> выполняется двойное неравенство <tex> \frac{2}{\pi} t \le \sin t \le t </tex>, то можно рассматривать <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt </tex>.
+
Значит, неопределённый интеграл существует.
 +
}}
  
Разобьем интеграл на две части, <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} </tex>:
+
== Формула Ньютона-Лейбница ==
  
<tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le  \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n + 1) |\sin t|}{t} dt \le const </tex>.
+
{{Теорема
 +
|about=формула Ньютона-Лейбница
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда
 +
<tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex>
 +
|proof=
 +
Так как <tex>f</tex> {{---}} интегрируема, то <tex>\forall \tau \ \int\limits_a^b f </tex> равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для <tex>\tau</tex>.
  
Оценка сверху: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n </tex>.
+
Поэтому, если <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, то
  
Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 _{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \sim ln n </tex>.
+
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то, применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим:
  
Отсюда получаем требуемое.
+
<tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex>
 +
 
 +
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex>
 +
 
 +
<tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.
 
}}
 
}}
  
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.
+
=== Следствие ===
 +
Объединяя эту теорему со [[#barrou_sl|следствием]] к теореме Барроу получаем следующий факт:
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, <tex>F</tex> {{---}} одна из первообразных.
 +
Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>
 +
}}
 +
 
 +
== Формулы ==
 +
=== Вычисление определенного интеграла по частям ===
 +
 
 +
<tex>\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)</tex>
  
Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_n</tex>. Для расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S</tex> по методу средних арифметических.  
+
=== Вычисление определенного интеграла сложной функции ===
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.
+
 
 +
{{Утверждение
 +
|id = formula2
 +
|statement=
 +
Пусть
 +
 
 +
<tex>y = f(x), \ x \in (a; b) \quad x = \varphi(t), \ t\in[\alpha; \beta]</tex>
 +
 
 +
<tex>\varphi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \varphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex>
 +
 
 +
Тогда <tex>\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t</tex>
 +
|proof =
 +
Монотонность <tex>\varphi</tex> не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл, то есть число.
 +
<!--
 +
({{TODO|t=что за бреееед????}})
 +
Все нормально
 +
-->
 +
 
 +
Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.
 +
 
 +
<tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>\exists F: \ F' = f</tex>
 +
 
 +
По формуле Ньютона-Лейбница, <tex>\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)</tex>.
 +
 
 +
<tex>G(t) = F(\varphi(t))</tex>
 +
 
 +
<tex>G'(t) = F'(x) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</tex>
 +
 
 +
<tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt =
 +
G(t_2) - G(t_1) =
 +
F(\varphi(t_2)) - F(\varphi(t_1)) =
 +
F(b) - F(a)</tex>
 +
 
 +
У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
 +
}}

Текущая версия на 19:12, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Утверждение

Утверждение:
Пусть [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math] и [math]m \leq f(x) \leq M[/math]. Тогда [math]m \leq \frac1{b - a} \int\limits_a^b f \leq M[/math]
[math]\triangleright[/math]

По условию [math]m \leq f \leq M[/math]. Проинтегрируем каждую часть:

[math]\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a^b M[/math].

Посчитаем значения крайних интегралов и поделим всё на [math]b - a[/math].

[math]m \leq \frac1{b - a}\int\limits_a^b f \leq M[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Утверждение:
Пусть [math]f[/math] — непрерывна на [math][a; b][/math]. Тогда [math]\exists c \in [a; b]: f(c) = \frac1{b - a}\int\limits_a^b f[/math]
[math]\triangleright[/math]

Определим [math]m = \min\limits_{[a; b]} f(x)[/math], [math]M = \max\limits_{[a; b]} f(x)[/math].

Тогда [math][m; M][/math] — множество значений функции.

По предыдущему утверждению, [math]\frac1{b - a} \int\limits_a^b f\in [m; M][/math] и в силу непрерывности [math]f[/math] по теореме Коши подходящее [math]c[/math] найдётся.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Объектом исследования этого параграфа является [math]F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt[/math], [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math], [math]x \in [a, b][/math]. Такая функция называется интегралом с переменным верхним пределом.


Свойства

№1

Утверждение:
[math]F[/math] — непрерывна на [math][a; b][/math].
[math]\triangleright[/math]

Так как [math] f [/math] ограничена (в силу этого утверждения), то [math]\exists M: \ |f| \leq M[/math].

Тогда [math]|F(x + \Delta x) - F(x)| = \left|\int\limits_x^{x + \Delta x}f\right| \leqslant M \Delta x \Rightarrow F[/math] — непрерывна.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Барроу

Теорема (Барроу):
Пусть [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math] и непрерывна в [math]x_0 \in (a; b)[/math]. Тогда [math]F[/math] дифференцируема в этой точке и её производная равна [math]F'(x_0) = f(x_0)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приращение [math]F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx[/math]

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0[/math] при [math]|x - x_0| \lt \delta [/math] в силу непрерывности в точке [math]x_0[/math] выполняется [math]f(x_0) - \varepsilon \lt f(x) \lt f(x_0) + \varepsilon[/math]

Рассмотрим [math] |\Delta x| \lt \delta [/math]. По первому утверждению получаем [math]\forall |\Delta x| \lt \delta, \Delta x \gt 0: \quad f(x_0) - \varepsilon \leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f \leqslant f(x_0) + \varepsilon [/math]

Устремляя [math]\varepsilon \to 0[/math], получаем [math]\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Важное следствие

Утверждение:
Пусть [math]f[/math] — непрерывна на [math][a; b][/math]. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.
[math]\triangleright[/math]

[math]F(x) = \int\limits_a^x f \Rightarrow F'(x) = f(x)[/math]

В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу [math]F'(x) =f(x)[/math] — одна из первообразных.

Значит, неопределённый интеграл существует.
[math]\triangleleft[/math]

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема (формула Ньютона-Лейбница):
Пусть [math]F[/math] дифференцируема на [math][a; b][/math], её производная [math]f[/math] интегрируема на этом же отрезке. Тогда [math]F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как [math]f[/math] — интегрируема, то [math]\forall \tau \ \int\limits_a^b f [/math] равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для [math]\tau[/math].

Поэтому, если [math]\tau[/math] — разбиение [math][a; b][/math], то

[math]F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)[/math]. Так как [math]F[/math] дифференцируема, то, применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим:

[math]F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x[/math]

[math]F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)[/math]

[math]\operatorname{rang} \tau \to 0[/math], следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая — постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Объединяя эту теорему со следствием к теореме Барроу получаем следующий факт:

Утверждение:
Пусть [math]f[/math] — непрерывна на [math][a; b][/math], [math]F[/math] — одна из первообразных. Тогда [math]\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)[/math]

Формулы

Вычисление определенного интеграла по частям

[math]\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)[/math]

Вычисление определенного интеграла сложной функции

Утверждение:
Пусть

[math]y = f(x), \ x \in (a; b) \quad x = \varphi(t), \ t\in[\alpha; \beta][/math]

[math]\varphi(t) \in [a; b][/math], [math]b = \varphi(t_2)[/math], [math]a = \varphi(t_1)[/math]

Тогда [math]\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t[/math]
[math]\triangleright[/math]

Монотонность [math]\varphi[/math] не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл, то есть число.

Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.

[math]f[/math] — непрерывна на [math][a,b][/math]. Значит, [math]\exists F: \ F' = f[/math]

По формуле Ньютона-Лейбница, [math]\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)[/math].

[math]G(t) = F(\varphi(t))[/math]

[math]G'(t) = F'(x) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)[/math]

[math]\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = G(t_2) - G(t_1) = F(\varphi(t_2)) - F(\varphi(t_1)) = F(b) - F(a)[/math]

У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
[math]\triangleleft[/math]