Использование обхода в глубину для поиска мостов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 11: Строка 11:
 
Удалим <tex> (u, v)</tex> из <tex> G</tex> Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков <tex> v </tex> (в частности <tex> u </tex>). Пусть это не так, и <tex> w</tex> - предпоследняя вершина на пути от <tex> v</tex> до ее предка <tex>x </tex>. Очевидно, <tex> (w, x)</tex> не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если <tex> (w, x)</tex> - обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, т.к. <tex> x</tex> - предок <tex> u</tex> <br>
 
Удалим <tex> (u, v)</tex> из <tex> G</tex> Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков <tex> v </tex> (в частности <tex> u </tex>). Пусть это не так, и <tex> w</tex> - предпоследняя вершина на пути от <tex> v</tex> до ее предка <tex>x </tex>. Очевидно, <tex> (w, x)</tex> не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если <tex> (w, x)</tex> - обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, т.к. <tex> x</tex> - предок <tex> u</tex> <br>
 
<tex> \Rightarrow</tex> <br>
 
<tex> \Rightarrow</tex> <br>
Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первое.
+
Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого.
 
Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро <tex>(x, w)</tex>. Тогда <tex>(u, v)</tex> лежит на цикле <tex>x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x</tex> и не может быть ребром.
 
Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро <tex>(x, w)</tex>. Тогда <tex>(u, v)</tex> лежит на цикле <tex>x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x</tex> и не может быть ребром.
 
}}
 
}}

Версия 09:28, 8 декабря 2010

Постановка задачи

Дан неориентированный граф [math] G [/math]. Найти все мосты в [math] G [/math] за время [math] O(|V| + |E|)[/math]

Алгоритм

Теорема:
Пусть [math] T [/math] - дерево обхода в глубину графа [math] G[/math]. Ребро [math] (u, v) [/math] является мостом тогда и только тогда, когда [math] (u, v) \in T[/math] и из вершины [math] v[/math] и любого ее потомка нет обратного ребра в вершину [math] u[/math] или предка [math] u [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Leftarrow[/math]
Удалим [math] (u, v)[/math] из [math] G[/math] Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков [math] v [/math] (в частности [math] u [/math]). Пусть это не так, и [math] w[/math] - предпоследняя вершина на пути от [math] v[/math] до ее предка [math]x [/math]. Очевидно, [math] (w, x)[/math] не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если [math] (w, x)[/math] - обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, т.к. [math] x[/math] - предок [math] u[/math]
[math] \Rightarrow[/math]
Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого.

Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро [math](x, w)[/math]. Тогда [math](u, v)[/math] лежит на цикле [math]x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x[/math] и не может быть ребром.
[math]\triangleleft[/math]