Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм)
(не показано 9 промежуточных версий 8 участников)
Строка 5: Строка 5:
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
  
 +
=== Описание алгоритма ===
 +
Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из произвольной вершины графа; обозначим её через <tex>root</tex>. Заметим следующий факт:
 +
 +
* Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины <tex>v</tex>. Тогда, если текущее ребро (<tex>v</tex>,<tex>to</tex>) таково, что из вершины <tex>to</tex> и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину <tex>v</tex> или какого-либо её предка, то эта вершина является точкой сочленения. В противном случае она ей не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из <tex>v</tex> в <tex>to</tex>, кроме как спуск по ребру (<tex>v</tex>,<tex>to</tex>) дерева обхода в глубину.)
 +
 +
Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
 +
 +
[[Файл:Joint_point_2_rsz.png‎|280px|thumb|left| <font color=red>Красным</font> цветом обозначены точки сочленения<br><font color=blue>Синим</font> — ребра по которым идет DFS]]
 +
Пусть <tex>tin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.
 +
 +
Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] &lt; tin[u]</tex>.
 +
 +
Таким образом, если для текущей вершины <tex>u \ne root </tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.
 +
 +
<br clear="all">
  
 
=== Псевдокод ===
 
=== Псевдокод ===
 
   
 
   
  '''function''' findCutPoints(G[n]: '''Graph'''):<font color=darkgreen> // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения во всем графе </font>
+
  '''function''' findCutPoints(G[n]: '''Graph'''):<font color=darkgreen> // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения во всем графе </font>
 
     visited = array[n, ''false'']
 
     visited = array[n, ''false'']
 
                      
 
                      
Строка 14: Строка 29:
 
       time = time + 1
 
       time = time + 1
 
       up[v] = tin[v] = time  
 
       up[v] = tin[v] = time  
       visited[v] = ''true''             
+
       visited[v] = ''true''
 +
      count = 0              
 
       '''for''' u: (v, u) '''in''' G   
 
       '''for''' u: (v, u) '''in''' G   
 
           '''if''' u == p
 
           '''if''' u == p
Строка 22: Строка 38:
 
           '''else'''
 
           '''else'''
 
             dfs(u, v)  
 
             dfs(u, v)  
             up[v] = min(up[v], tin[u])
+
            count = count + 1
             '''if''' up[to] >= tin[v] '''&&''' p != -1 <font color=darkgreen>// если граф состоит из 2 вершин и одного ребра, то p != -1 спасёт, иначе выведет 1 точку сочленения </font>
+
             up[v] = min(up[v], up[u])
 +
             '''if''' p != -1 '''and''' up[u] >= tin[v]
 
                   v — cutpoint  
 
                   v — cutpoint  
       '''if''' v '''is''' root
+
       '''if''' p == -1 '''and''' count >= 2
 
             v — cutpoint  
 
             v — cutpoint  
 
                        
 
                        
Строка 49: Строка 66:
 
#Пусть <tex>root</tex> — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что <tex>root</tex> — точка сочленения.
 
#Пусть <tex>root</tex> — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что <tex>root</tex> — точка сочленения.
 
}}
 
}}
 
 
[[Файл:Joint_point_2_rsz.png‎|280px|thumb|left| <font color=red>Красным</font> цветом обозначены точки сочленения<br><font color=blue>Синим</font> — ребра по которым идет DFS]]
 
Пусть <tex>tin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.
 
 
Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>.
 
 
Таким образом, если для текущей вершины <tex>v \ne root </tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.
 
  
 
<br clear="all">
 
<br clear="all">
  
=== Время работы ===
+
=== Асимптотика ===
Оценим время работы алгоритма. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex> вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[Основные определения теории графов|ребра]] <tex>\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = u\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма оценивается как <tex>O(V+E)</tex>. Такое же, как у [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].
+
Оценим время работы алгоритма. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex> вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[Основные определения теории графов|ребра]] <tex>\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = v\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма оценивается как <tex>O(V+E)</tex>. Такое же, как у [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 12:36, 5 ноября 2020

Задача:
Дан связный неориентированный граф [math] G [/math]. Найти все точки сочленения в [math] G [/math] за время [math] O(|V| + |E|).[/math]


Алгоритм

Описание алгоритма

Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через [math]root[/math]. Заметим следующий факт:

  • Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины [math]v[/math]. Тогда, если текущее ребро ([math]v[/math],[math]to[/math]) таково, что из вершины [math]to[/math] и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину [math]v[/math] или какого-либо её предка, то эта вершина является точкой сочленения. В противном случае она ей не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из [math]v[/math] в [math]to[/math], кроме как спуск по ребру ([math]v[/math],[math]to[/math]) дерева обхода в глубину.)

Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.

Красным цветом обозначены точки сочленения
Синим — ребра по которым идет DFS

Пусть [math]tin[u][/math] — время входа поиска в глубину в вершину [math]u[/math]. Через [math]up[u][/math] обозначим минимум из времени захода в саму вершину [math]tin[u][/math], времен захода в каждую из вершин [math]p[/math], являющуюся концом некоторого обратного ребра [math](u,p)[/math], а также из всех значений [math]up[v][/math] для каждой вершины [math]v[/math], являющейся непосредственным сыном [math]u[/math] в дереве поиска.

Тогда из вершины [math]u[/math] или её потомка есть обратное ребро в её предка [math]\Leftrightarrow \exists[/math] такой сын [math]v[/math], что [math]up[v] < tin[u][/math].

Таким образом, если для текущей вершины [math]u \ne root [/math] существует непосредственный сын [math]v[/math]: [math]up[v] \geqslant tin[u][/math], то вершина [math]u[/math] является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.


Псевдокод

function findCutPoints(G[n]: Graph): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения во всем графе 
    visited = array[n, false]
                   
   function dfs(v: int, p: int):
      time = time + 1
      up[v] = tin[v] = time 
      visited[v] = true
      count = 0             
      for u: (v, u) in G   
         if u == p
            continue
         if visited[u]
            up[v] = min(up[v], tin[u])
         else
            dfs(u, v) 
            count = count + 1
            up[v] = min(up[v], up[u])
            if p != -1 and up[u] >= tin[v]
                 v — cutpoint 
      if p == -1 and count >= 2
            v — cutpoint 
                   	   
   for i = 1 to n             
      if not visited[i]              
         dfs(i, -1)

Доказательство корректности

Теорема:
Пусть [math]T[/math] — дерево обхода в глубину, [math]root[/math] — корень [math]T[/math].
  • Вершина [math]u \ne root[/math] — точка сочленения [math]\Leftrightarrow \exists v \in T[/math] — сын [math]u[/math] : из [math]v[/math] или любого потомка вершины [math]v[/math] нет обратного ребра в предка вершины [math]u[/math].
  • [math]root[/math] — точка сочленения [math]\Leftrightarrow root[/math] имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рисунок к [math]\Leftarrow[/math]

[math]\Leftarrow[/math]

  1. Удалим [math]u[/math] из [math]G[/math]. Докажем, что не существует пути из [math]v[/math] в любого предка вершины [math]u[/math]. Пусть это не так. Тогда [math]\exists x \in T[/math] — предок [math]u[/math] : [math]\exists[/math] путь из [math]v[/math] в [math]x[/math] в [math]G \backslash u[/math]. Пусть [math]w[/math] — предпоследняя вершина на этом пути, [math]w[/math] — потомок [math]v[/math]. [math](w, x)[/math] — не ребро дерева [math]T[/math](в силу единственности пути в дереве) [math]\Rightarrow (w, x)[/math] — обратное ребро, что противоречит условию.
  2. Пусть у [math]root[/math] хотя бы два сына. Тогда при удалении [math]root[/math] не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер [math]\Rightarrow root[/math] — точка сочленения.

[math]\Rightarrow[/math]

  1. Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через [math]G'[/math] граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками [math]u[/math]. Удалим вершину [math]u[/math]. Очевидно, что граф [math]G'[/math] и все поддеревья вершины [math]u[/math] останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в [math]G' \Rightarrow G \backslash u[/math] — связный [math]\Rightarrow u[/math] — не точка сочленения.
  2. Пусть [math]root[/math] — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении [math]root[/math] остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что [math]root[/math] — точка сочленения.
[math]\triangleleft[/math]


Асимптотика

Оценим время работы алгоритма. Процедура [math]\mathrm{dfs}[/math] вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие ребра [math]\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = v\}[/math]. Всего таких ребер для всех вершин в графе [math]O(E)[/math], следовательно, время работы алгоритма оценивается как [math]O(V+E)[/math]. Такое же, как у обхода в глубину.

См. также

Источники информации