Использование обхода в глубину для проверки связности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{Задача
 
{{Задача
 
|definition =
 
|definition =
Дан граф <tex>G</tex> и две вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>t</tex> по рёбрам графа <tex>G</tex>.
+
Дан граф <tex>G = (V, E)</tex> и две вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>t</tex> по рёбрам графа <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
 
=== Алгоритм ===
 
=== Алгоритм ===
  
 
Небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины <tex>s</tex> и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной <tex>t</tex>.
 
Небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины <tex>s</tex> и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной <tex>t</tex>.
Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина <tex>t</tex> и была достижима из <tex>s</tex>, то по [[Лемма о белых путях|лемме о белых путях]] в какой-то момент времени мы зайдём в вершину <tex>t</tex>, чтобы её покрасить. Время работы алгоритма <tex>O(M + N)</tex>.
+
Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина <tex>t</tex> и была достижима из <tex>s</tex>, то по [[Лемма о белых путях|лемме о белых путях]] в какой-то момент времени мы зайдём в вершину <tex>t</tex>, чтобы её покрасить. Время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
  
  '''bool[]''' visited;                                <font color=green>//массив цветов вершин</font>
+
  <font color=green>// visited {{---}} массив цветов вершин</font>
 +
<font color=green>// t {{---}} конечная вершина</font>  
 
   
 
   
  '''bool''' dfs(u: '''int'''):            
+
  '''bool''' dfs(u, t: '''int''', visited: '''bool[]'''):            
 
     '''if''' u == t
 
     '''if''' u == t
         '''return''' ''true'';    
+
         '''return''' ''true''     
     visited[u] = ''true'';                          <font color=green>//помечаем вершину как пройденную</font>
+
     visited[u] = ''true''                             <font color=green>// помечаем вершину как пройденную</font>
     '''for''' v таких, что (u, v) — ребро в G        <font color=green>//проходим по смежным с u вершинам</font>
+
     '''for''' v: uv <tex>\in</tex> E                                  <font color=green>// проходим по смежным с u вершинам</font>
         '''if''' '''not''' visited[v]                       <font color=green>//проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font>
+
         '''if''' '''not''' visited[v]                         <font color=green>// проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font>
             '''if''' dfs(v)
+
             '''if''' dfs(v, t, visited)
                 '''return''' ''true'';
+
                 '''return''' ''true''
     '''return''' ''false'';
+
     '''return''' ''false''
  
 
== Алгоритм проверки связности графа G ==
 
== Алгоритм проверки связности графа G ==
Строка 28: Строка 29:
 
{{Задача
 
{{Задача
 
|definition =
 
|definition =
Дан [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] <tex>G</tex>. Необходимо проверить, является ли он связным.
+
Дан [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]] <tex>G = (V, E)</tex>. Необходимо проверить, является ли он связным.
 
}}
 
}}
  
 
=== Алгоритм ===
 
=== Алгоритм ===
 
+
Снова небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой <code>dfs()</code> от некоторой вершины графа <tex>G</tex>, если его результат равен <tex>|V|</tex>, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
Заведём счётчик количества вершин, которые мы ещё не посетили. В стандартной процедуре <code>dfs()</code> будем уменьшать счётчик на единицу при входе в процедуру. Запустим алгоритм от некоторой вершины нашего графа. Если в конце работы процедуры <code>dfs()</code> счётчик равен нулю, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен. Если счётчик отличен от нуля, то мы не побывали в какой-то вершине графа. Работает алгоритм за <tex>O(M + N)</tex>.
 
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
  
  '''bool[]''' visited;                                <font color=green>//массив цветов вершин</font>
+
  <font color=green>// visited {{---}} массив цветов вершин</font>
  '''int''' k = n;                                    <font color=green>//счетчик изначально равен количеству вершин</font>
+
                             
+
  '''int''' dfs(u: '''int''', visited: '''bool[]'''):               
function dfs(u: '''int'''):               
+
     '''int''' visitedVertices = 1
     k--;
+
     visited[u] = ''true''                           <font color=green>// помечаем вершину как пройденную</font>
     visited[u] = ''true'';                        <font color=green>//помечаем вершину как пройденную</font>
+
     '''for''' v: uv <tex>\in</tex> E                              <font color=green>// проходим по смежным с u вершинам</font>
     '''for''' v таких, что (u, v) — ребро в G        <font color=green>//проходим по смежным с u вершинам</font>
+
         '''if''' '''not''' visited[v]                       <font color=green>// проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font>
         '''if''' '''not''' visited[v]                     <font color=green>//проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</font>
+
             visitedVertices += dfs(v, visited)
             dfs(v);
+
    '''return''' visitedVertices
  
 
==Проверка связности вершин в режиме онлайн==
 
==Проверка связности вершин в режиме онлайн==
Строка 53: Строка 53:
 
}}
 
}}
 
===Алгоритм===
 
===Алгоритм===
Описываемая здесь идея довольна проста и будет основываться на структуре данных [[СНМ (наивные реализации)|"система непересекающихся множеств"]].  
+
Описываемая здесь идея довольна проста и будет основываться на [[СНМ (наивные реализации)|системе непересекающихся множеств]].  
  
 
В каждом множестве будем хранить компоненты связности графа <tex>G</tex>. Тогда ответ на запросы второго типа будет заключаться в определении множеств, в которых находятся данные вершины, т.е. две вершины являются связанными, если они лежат в одной компоненте связности. Изначально все вершины находятся в разных компонентах связности. При добавлении ребра объединяем множества, в которых находятся его концы, если те различны.
 
В каждом множестве будем хранить компоненты связности графа <tex>G</tex>. Тогда ответ на запросы второго типа будет заключаться в определении множеств, в которых находятся данные вершины, т.е. две вершины являются связанными, если они лежат в одной компоненте связности. Изначально все вершины находятся в разных компонентах связности. При добавлении ребра объединяем множества, в которых находятся его концы, если те различны.
Строка 60: Строка 60:
 
*[[Обход в глубину, цвета вершин]]
 
*[[Обход в глубину, цвета вершин]]
 
*[[Использование обхода в глубину для поиска цикла]]
 
*[[Использование обхода в глубину для поиска цикла]]
 
== Источники информации ==
 
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]

Текущая версия на 19:15, 18 октября 2015

Алгоритм проверки наличия пути между двумя вершинами[править]

Задача:
Дан граф [math]G = (V, E)[/math] и две вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины [math]s[/math] в вершину [math]t[/math] по рёбрам графа [math]G[/math].

Алгоритм[править]

Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины [math]s[/math] и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной [math]t[/math]. Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина [math]t[/math] и была достижима из [math]s[/math], то по лемме о белых путях в какой-то момент времени мы зайдём в вершину [math]t[/math], чтобы её покрасить. Время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|)[/math].

Реализация[править]

// visited — массив цветов вершин 
// t — конечная вершина 

bool dfs(u, t: int, visited: bool[]):             
    if u == t
        return true    
    visited[u] = true                              // помечаем вершину как пройденную
    for v: uv [math]\in[/math] E                                  // проходим по смежным с u вершинам
        if not visited[v]                          // проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            if dfs(v, t, visited)
                return true
    return false

Алгоритм проверки связности графа G[править]

Задача:
Дан неориентированный граф [math]G = (V, E)[/math]. Необходимо проверить, является ли он связным.


Алгоритм[править]

Снова небольшая модификация алгоритма обхода в глубину, в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой dfs() от некоторой вершины графа [math]G[/math], если его результат равен [math]|V|[/math], то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за [math]O(|V| + |E|)[/math].

Реализация[править]

// visited — массив цветов вершин  
                             
int dfs(u: int, visited: bool[]):              
    int visitedVertices = 1
    visited[u] = true                           // помечаем вершину как пройденную
    for v: uv [math]\in[/math] E                               // проходим по смежным с u вершинам
        if not visited[v]                       // проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            visitedVertices += dfs(v, visited)
    return visitedVertices

Проверка связности вершин в режиме онлайн[править]

Задача:
Дан пустой граф [math]G[/math], состоящий из [math]n[/math] вершин. Поступают запросы, каждый из которых — это пара вершин, между которыми надо добавить ребро. Необходимо в любой момент времени для двух выбранных вершин отвечать на вопрос, являются ли они связанными.

Алгоритм[править]

Описываемая здесь идея довольна проста и будет основываться на системе непересекающихся множеств.

В каждом множестве будем хранить компоненты связности графа [math]G[/math]. Тогда ответ на запросы второго типа будет заключаться в определении множеств, в которых находятся данные вершины, т.е. две вершины являются связанными, если они лежат в одной компоненте связности. Изначально все вершины находятся в разных компонентах связности. При добавлении ребра объединяем множества, в которых находятся его концы, если те различны.

См. также[править]