Исчисление высказываний, общие определения. Таблицы истинности. Общезначимость

Язык исчисления высказываний

Определения

Определение:

Языком исчисления высказываний мы назовем язык [math]L[/math], порождаемый следующей грамматикой со стартовым нетерминалом <выражение>: <выражение> ::= <импликация> <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация> <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция> <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] <конъюнкция> [math]\&[/math] <терм> <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>

Определение:

<пропозициональная переменная> формально не определяется. Договоримся, что это - буква латинского алфавита (возможно, с нижним индексом).

Расстановка скобок

Так построенная грамматика предписывает определенный способ расстановки опущенных скобок, при этом скобки у конъюнкции и дизъюнкции расставляются слева направо, а у импликации --- справа налево (это соответствует традиционному чтению), так что выражение [math]A \rightarrow B\&C\&D \rightarrow E[/math] следует понимать как [math]A \rightarrow (((B\&C)\&D) \rightarrow E)[/math]. Все выражения, которые отличаются только наличием дополнительных незначащих скобок (не изменяющих порядок операций), мы будем считать одинаковыми.

Иногда полезно ограничивать свободу расстановки скобок:

• <выражение> ::= <импликация>
• <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] (<дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация>)
• <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] (<дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция>)
• <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] (<конъюнкция> [math]\&[/math] <терм>)
• <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>

Определение:

Высказывание - любая формула, порожденная данными грамматиками.